Category: CBSE Sample Papers

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CBSE Sample Papers for Class 12 Maths Term 2 Set 12 for Practice

Time Allowed: 2 Hours
Maximum Marks: 40

General Instructions:

• This question paper contains three sections-A. B and C. Each part is compulsory.
• Section-A has 6 short answer type (SA1) questions of 2 marks each.
• Section-B has 4 short answer type (SA2) questions of 3 marks each.
• Section-C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.
• There is an Internal choice in some of the questions.
• Q14 is a case-based problem having 2 sub parts of 2 marks each.

Section – A
(Section – A has 6 short answer type (SA-1) questions of 2 marks each.)

Question 1.
Let E and F be two events such that P(E) = \(\frac{1}{3}\) P(F) = \(\frac{1}{4}\) and P(E ∪ F) = \(\frac{1}{2}\). Show that E and F are independent events. (2)

Question 2.
Evaluate ∫x.2^x2 dx. 2

Question 3.
Find the area of the region bounded by the curve x² = 16y, the lines y = 1 and y = 4 and the y-axis in the first quadrant. (2)

Question 4.
If \(\vec{a}\) is any vector, then prove that \(\vec{a}\) = \((\vec{a} \cdot \hat{i}) \hat{i}+(\vec{a} \cdot \hat{j}) \hat{j}+(\vec{a} \cdot \hat{k}) \hat{k}\)
OR
Prove that (\(\vec{a} \times \vec{b}\)) – (\((\vec{a} \cdot \vec{b})\)) tan θ, where θ is the angle between the vector \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\). (2)

Question 5.
Two cards are drawn successively without replacement from a well-shuffled pack of 52 playing cards. Find the probability distribution of the number of kings. (2)

Question 6.
Does \(\vec{a} \times \vec{b}\) = \(\vec{a} \times \vec{c}\) always imply \(\vec{b}\) = \(\vec{c}\)? Give reasons with your answer. (2)

Section – B
(Section – B has 4 short answer type (SA-2) questions of 3 marks each.)

Question 7.

OR
Evaluate \(\int \frac{1}{3 \sin x+4 \cos x}\) dx. (3)

Question 8.
A variable plane which is at a constant distance p from the origin, meets the axes in A, B and C. Through A, B and C, planes are drawn parallel to the coordinate planes. Show that the locus of their point of intersection is:
x^-2 + y^-2 + z^-2 = p^-2

Question 9.
Solve the differential equation:
(y – x\(\frac{d y}{d x}\))x = y
OR
Find the particular solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}\) + 2y tan x = sin x, given that y = 0 when x =\(\frac{\pi}{3}\). (3)

Question 10.
Using vectors, prove Pythagoras Theorem. (3)

Section – C
(Section – C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.)

Question 11.
A bag contains (2n + 1) coins. It is known the n of these coins have a head on both sides whereas the rest of the coins are fair. A coin is picked up at random from the bag and is tossed. If the probability that the toss results in a head is \(\frac{31}{42}\) , determine the value of n. (4)

Question 12.
Evaluate \(\int \frac{5 x-2}{3 x^{2}+2 x+1}\) dx. (4)

Question 13.
Find the shortest distance between the following pairs of lines:
\(\frac{x-3}{3}=\frac{y-8}{-1}=\frac{z-3}{1}\)
and \(\frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-6}{4}\)
OR
Find the foot of perpendicular from the point (2, 3, -8) to the line \(\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}\). Also find the perpendicular distance from the given point to the line. (4)

 

CASE-BASED/DATA-BASED

Question 14.
Ramesh went to a pizza shop and he ordered a pizza. After sometime, the pizza boy serves a pizza to the Ramesh and he cut off it with a knife. Pizza is circular in shape which is represented by the equation x² + y² = 4 and sharp edge of the knife represents a line given by x = √3y.

Based on the above information, answer the following two questions:
(A) Determine the points of intersection of the circle and the line. (2)
(B) Find the smaller area of the region bounded by the circular pizza and the edge of the knife in the first quadrant. (2)

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CBSE Sample Papers for Class 12 Maths Term 2 Set 4 with Solutions

Time Allowed: 2 Hours
Maximum Marks: 40

General Instructions:

• This question paper contains three sections-A. B and C. Each part is compulsory.
• Section-A has 6 short answer type (SA1) questions of 2 marks each.
• Section-B has 4 short answer type (SA2) questions of 3 marks each.
• Section-C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.
• There is an Internal choice in some of the questions.
• Q14 is a case-based problem having 2 sub parts of 2 marks each.

Section – A
(Section – A has 6 short answer type (SA-1) questions of 2 marks each.)

Question 1.
If A, B, C and D are the points with position vectors î + ĵ – k̂, 2î – ĵ + 3k̂, 2î – 3k̂, 3î – 2ĵ + k̂, respectively, find the projection of \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) along \(\overrightarrow{C D}\). (2)
Answer:

Caution:
The formula for the projection of \(\vec{a}\) along \(\vec{b}\) is \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)

Question 2.
Find the area of the region bounded by the curve y² = 8x and the line x = 2. (2)
Answer:
y² = 8x represents a parabola whose vertex is at the origin, axis of symmetry is x-axis, focus on the positive direction of x-axis and it opens to the right.

Since, the parabola is symmetrical about x-axis.

Question 3.
Evaluate ∫(2x + 5)sin2x dx.
OR
Evaluate

Answer:

Question 4.
8% of bulbs produced by a factory are red and 2% are red and defective. If one bulb is picked up at random, what is the probability of it being defective, if it is red? (2)
Answer:
Let A be the event of “the bulb being red”, and B be the event of “the bulb being defective”. Then,
∴ P(A) = \(\frac{8}{100}\) = 0.08
And, P(B ∩ A) = \(\frac{2}{100}\) = 0.02
Required probability = P(B/A)
= \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\)
= \(\frac{0.02}{0.08}\) = \(\frac{1}{4}\)

Question 5.
A bag contains 19 tickets, numbered from 1 to 19. A ticket is drawn and then another ticket is drawn without replacement. Find the probability that both tickets will show an even number. (2)
Answer:
Let A be the event that “first ticket shows an even number”.
∴ A = {2, 4, 6, 8,10,12,15,16,18}
∴ P(A) = \(\frac{9}{19}\)
Let B be the event that “second ticket shows an even number”.
Since, first ticket has not been replaced, so now there are 18 tickets, out of which 8 are even numbered.
∴ P(B/A) = \(\frac{8}{18}\)
Now, required probability
= P (both tickets are even numbered)
= P (A ∩ B)
= P (A) × P(B/A)
[Using multiplication theorem]
= \(\frac{9}{19} \times \frac{8}{18}=\frac{4}{19}\)

Question 6.
Show that the points A (2, – 1, 1), B (1, – 3, – 5) and C (3, – 4,- 4) are the vectors of a right angled triangle. (2)
Answer:

Section – B
(Section – B has 4 short answer type (SA-2) questions of 3 marks each.)

Question 7.
Solve the differential equation:
x\(\frac{d y}{d x}\) + (2x + 1)y = xe^-2x
OR
Solve: xy \(\frac{d y}{d x}\) = x² – y²
Answer:
The given differential equation can be rewritten as dy 2x +1 _2x
\(\frac{d y}{d x}+\frac{2 x+1}{x} \cdot y\) = e^-2x
It is a linear differential equation in the form
\(\frac{d y}{d x}\) + P(x).y = Q(x)
where, P(x) = \(\frac{2 x+1}{x}\) and Q(x) = e^-2x
Integrating Factor (I.F.)
= e^∫P(x).dx = \(e^{\int\left(2+\frac{1}{x}\right) d x}\)
= e^{2x + log x}
= e^2x.e^{log x}
= e^2x.x
Thus, the solution to the given differential equation is:
y.(I.F.) = ∫Q(x).(I.F.)dx
⇒ y.(e^2x.x) = ∫e^-2x.(e^2x.x)dx
⇒ xye^2x = ∫ x dx
⇒ xye^2x = \(\frac{x^{2}}{2}\) + C
which is the required solution of the given differential equation.
OR
we have, xy\(\frac{d y}{d x}\) = x² – y²
or, \(\frac{d y}{d x}\) = \(\frac{x^{2}-y^{2}}{x y}\) …… (i)
Clearly, this differential equation is a homogeneous differential equation.
∴ Put y = vx
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
Substituting these values in (i), we get

Question 8.
If with reference to the right handed system of mutually perpendicular unit vectors î, ĵ and k̂, \(\vec{\alpha}\) = 3î – ĵ and \( = 2î – ĵ – 3î, then express [latex]\vec{\beta}\) in the form \(\vec{\beta}=\overrightarrow{\beta_{1}}+\overrightarrow{\beta_{2}}\) , where \(\overrightarrow{\beta_{1}}\) is parallel to \(\vec{\alpha}\) and \(\overrightarrow{\beta_{2}}\) is perpendicular to \(\vec{\alpha}\). (3)
Answer:

Question 9.
Evaluate \(\int \frac{1}{x\left(x^{6}+1\right)}\) dx. (3)
Answer:

Question 10.
The lines \(\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-k}\) and \(\frac{x-1}{k}\) = \(\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{1}\) are coplanar. Find k.
OR
Find the point(s) on the line \(\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}\) = \(\frac{z-3}{2}\), which are at a distance of 3√2 units from the point (1, 2, 3). (3)
Answer:
We know that the lines

⇒ -(1 + 2k) – 1(1 + k²) + 1 (2 – k) = 0
⇒ – 1 – 2k – 1 – k² + 2 – k = 0
⇒ k² + 3k = 0
⇒ k(k + 3) = 0
⇒ k = 0, – 3

Caution:
Lines will be coplanar, if they lie on the same plane.
OR
Given: Equation of line is
\(\frac{x+2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-3}{2}\) = λ(say)
∴ Any point on the given line is
(3λ – 2, 2λ – 1, 2λ + 3) …….. (i)
Since, this point is at a distance of 3√2 units from the point (1, 2, 3).
∴ \(\sqrt{(3 \lambda-2-1)^{2}+(2 \lambda-1-2)^{2}+(2 \lambda+3-3)^{2}}\)
= 3√2 [Using distance formula]
or (3λ – 3)² + (2λ – 3)² + (2λ)² = 18 [Squaring both sides]
or 17λ² – 30λ. = 0
⇒ λ(17λ – 30) = 0
⇒ λ = 0, \(\frac{30}{17}\)
Substituting the values of λ in (i), we get the required points as (- 2, – 1, 3) and \(\left(\frac{56}{17}, \frac{43}{17}, \frac{111}{17}\right)\).

Section – C
(Section – C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.)

Question 11.
A letter is known to have come either from KOLKATA or TATANAGAR. On the envelope just two letters, TA, are visible. Find the probability that the letter has come from TATANAGAR.
OR
A doctor is to visit a patient. From the past experience, it is known that the probabilities that he will come by train, bus, scooter or by other means of transport are respectively. \(\frac{3}{10}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}\) and the probabilities that he will be late are \(\frac{1}{4}, \frac{1}{3}\) and \(\frac{1}{12}\), if he comes by train, bus and scooter, respectively, but if he comes by other means of transport, then he will not be late, When he arrives, he is late. What is the probability that he came by train? (4)
Answer:
Let E₁, E₂ and F be the events defined as:
Ex: Letter has come from KOLKATA.
E2 : Letter has come from TATANAGAR.
and F: Two consecutive visible letters are TA.
∴ P(E₁) = P(E₂)= \(\frac{1}{2}\)
Now, the word KOLKATA has 7 Letters, so there are groups of two consecutive Letters, namely, KO, OL, LK, KA, AT and TA.
Only one of these is ‘TA’.
∴ \(P\left(\frac{F}{E_{1}}\right)=\frac{1}{6}\)
Similarly, the word TATANAGAR has a letters, and there are 8 groups of two consecutive letters, namely TA, AT, TA, AN, NA, AG, GA and AR.
Only here of these are ‘TA’.
∴ \(P\left(\frac{F}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\)
Now,
required probability = p\(\left(\frac{E_{2}}{F}\right)\)

Let B be the event that the doctor visits the patient late.
Also, let A₁, A₂, A₃ and A₄ be the events that the doctor comes by train, bus, scooter and other means of transport, respectively.

Question 12.
Evaluate

Answer:

Question 13.
Find the image of the point (1, 2, 3) in the plane x + 2y + 4z = 38. (4)
Answer:
Given: Equation of plane is:
x + 2y + 4z = 38 ……. (i)
∴ Unit vector normal to the plane is (î + 2 ĵ + 4k̂).
Now, equation of the line from point P(1, 2, 3), parallel to vector î + 2ĵ + 4k̂ will be
\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{4}\) = λ(say)
∴ Any general point on this line is (λ + 1, 2λ + 2, 4λ + 3).
Let N be the foot of perpendicular drawn from point P(1, 2, 3) to the plane (i).
Then, coordinates of N = (λ + 1, 2λ + 2, 4λ + 3)
Since, point N also lies on plane (i), so it must satisfy the equation of plane.
(λ + 1) + 2(2λ + 2) + 4 (4λ + 3) = 38
⇒ 21λ + 17 = 38
⇒ 21λ = 21
⇒ λ = 1
Putting the value of λ in the coordinates of N, we get
N = (1 + 1, 2(1) + 2, 4(1) + 3)
= (2, 4, 7)
Now, let P'(α, β, γ) be the image of point P(1, 2, 3) in the plane (i).
Then, N is mid-point of line joining the points P and P’.
∴ Using mid-point formula,
N(2, 4, 7) = \(\left(\frac{1+\alpha}{2}, \frac{2+\beta}{2}, \frac{3+\gamma}{2}\right)\)
⇒ (α, β, γ) = (3, 6, 11)
Thus, the required image of point (1, 2, 3) is (3, 6,11).

Case-Based/Data-Based

Question 14.
A mirror in the shape of an ellipse represented by \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}\) = 1 was hanging on the wall. Prem and his sister were playing with a ball in the room, even their mother stopped them to do so. All of a sudden, the ball hit the mirror and got a scratch in the shape of a line represented by \(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}\) =1.

Based on the above information, answer the following two questions:
(A) Determine the points of intersection of the ellipse and the line. (2)
Answer:
We have

So, the required points of intersections are (0, 2) and (3, 0).

(B) Find the area of the smaller region bounded by the ellipse and the line. (2)
Answer:

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CBSE Sample Papers for Class 12 Maths Term 2 Set 10 for Practice

Time Allowed: 2 Hours
Maximum Marks: 40

General Instructions:

• This question paper contains three sections-A. B and C. Each part is compulsory.
• Section-A has 6 short answer type (SA1) questions of 2 marks each.
• Section-B has 4 short answer type (SA2) questions of 3 marks each.
• Section-C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.
• There is an Internal choice in some of the questions.
• Q14 is a case-based problem having 2 sub parts of 2 marks each.

Section – A
(Section – A has 6 short answer type (SA-1) questions of 2 marks each.)

Question 1.
Sketch the region bounded by the curve y = x² + 2 and the lines y = x, x = 0 and x = 3. (2)

Question 2.
A bag contains 8 red and 5 white balls. Two successive draws of 3 balls are made without replacement. Find the probability that the first draw will give 3 white balls and the second draw will give 3 red balls.
OR
Three dice are thrown at the same time. Find the probability of getting three 2’s, if it is known that the sum of numbers on the three dice is six. (2)

Question 3.
Evaluate ∫\(\frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}\)dx. (2)

Question 4.
Find the coordinates of the point where the line \(\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{4}=\frac{z-2}{2}\) intersect the plane x – y + z – 5 = 0. (2)

Question 5.
For any two vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) , show that \(|\vec{a}+\vec{b}|^{2}+|\vec{a}-\vec{b}|^{2}=2\left(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}\right)\). (2)

Question 6.
Purse I contains 2 silver and 4 gold coins. Purse II contains 4 silver and 3 gold coins. A coin is taken out at random from one of the two purses. What is the probability that it is a silver coin? (2)

Section – B
(Section – B has 4 short answer type (SA-2) questions of 3 marks each.)

Question 7.
Evaluate ∫\(\frac{1}{(x+1)\left(x^{2}+2 x+2\right)}\) dx
OR
Evaluate ∫_-1²f(x)dx, where 1(x) = |x + 1| + |x| + |x – 1|. (3)

Question 8.
Find the equation of the Line through (-1, 3, 7) and perpendicular to the lines \(\vec{r}\) =(2î – 3ĵ) + λ(2î – 3ĵ + k̂) and \(\vec{r}\) = (î – ĵ + k̂) + μ(7ĵ – 5k̂) (3)

Question 9.
If with reference to the right handed system of mutually perpendicular unit vectors î, ĵ, and k̂,\(\vec{α}\) = 3î – ĵ and \(\vec{β}\) = 2î + ĵ – 3k̂,then express in the form \(\vec{\beta}=\overrightarrow{\beta_{1}}+\overrightarrow{\beta_{2}}\) where \(\overrightarrow{\beta_{1}}\) is parallel to \(\vec{α}\) and \(\overrightarrow{\beta_{2}}\) is perpendicular to \(\vec{α}\).
OR
Let \(\vec{a}\) = î + 4ĵ + 2k̂, \(\vec{b}\) = 3î – 2ĵ + 7k̂ and \(\vec{c}\) = 2î – ĵ + 4k̂. Find a vector \(\vec{d}\). which is perpendicular to both \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) and \(\vec{c} \cdot \vec{d}\) = 15. (3)

Question 10.
Find the area of the region bounded by the curves y = x² and y = |x|. (3)

Section – C
(Section – C has 4 Long answer type questions (LA) of 4 marks each.)

Question 11.
Show that the Lines \(\frac{x+1}{-3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{1}\) and \(\frac{x}{1}=\frac{y-7}{-3}=\frac{z+7}{2}\) intersect. Also,find the coordinates of the point of intersection. (4)

Question 12.
Solve: x\(\frac{d y}{d x}\) – y = \(\frac{x+1}{e^{x}}\)
OR
Find the particular solution of the differential equation \(\frac{d y}{d x}\) = 3y cot x = sin 2x, given that y = 2 when x = \(\frac{\pi}{2}\)

Question 13.
Evaluate ∫₀^π\(\frac{x}{a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x}\)dx.

Case-Based/Data-Based

Question 14.
In an office, three employees Pradeep, Pujo, and Praveen process the copies of a certain form. Pradeep process 50% of the forms Puja process 20% and Praveen processes the remaining 30% of the forms. Pradeep has an error rate of 0.06, Puja has an error rate of 0.04 and Praveen has an error rate of 0.03.

Based on the above information, answer the following two questions:
(A) Find the total probability of committing an error in processing the form. (2)
(B) The manager of the office wants to do a quality check. During the inspection he selects a form at random from the day’s output of processed forms. If the form selected at random has an error, find the probability that the form is not processed by Pradeep. (2)

Students can access the CBSE Sample Papers for Class 12 Maths with Solutions and marking scheme Term 2 Set 1 will help students in understanding the difficulty level of the exam.

CBSE Sample Papers for Class 12 Maths Term 2 Set 1 with Solutions

Time Allowed: 2 Hours
Maximum Marks: 40

General Instructions:

• This question paper contains three sections-A. B and C. Each part is compulsory.
• Section-A has 6 short answer type (SA1) questions of 2 marks each.
• Section-B has 4 short answer type (SA2) questions of 3 marks each.
• Section-C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.
• There is an Internal choice in some of the questions.
• Q14 is a case-based problem having 2 sub parts of 2 marks each.

Section – A
(Section – A has 6 short answer type (SA-1) questions of 2 marks each.)

Question 1.
Find \(\int \frac{\log x}{(1+\log x)^{2}}\)dx
Find \(\int \frac{\sin 2 x}{\sqrt{9-\cos ^{4} x}}\)dx
Answer:

Explanation:
Let,
I = \(\int \frac{\log x}{(1+\log x)^{2}}\)dx

Caution:
The tricky part of the question lies where, one need to break the given integral into 2 parts, So into integrate it casing.
OR
Put cos² x = t ⇒ – 2 cos x sin x dx = dt ⇒ sin 2xdx = – dt
The given integral = – \(\int \frac{d t}{\sqrt{3^{2}-t^{2}}}\) = – sin^-1\(\) + c
= – sin^-1\(\frac{\cos ^{2} x}{3}\) + c

Question 2.
Write the sum of the order and the degree of the following differential equation:
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = 5
Answer:
Order = 2, Degree = 1, Sum = 3
Explanation: given, differential equation is:
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = 5
or \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) = 5
∴ order of D.E. = 2
Degree of D.E. = 1
∴ Required sum = 2 + 1 = 3

Concept Applied:
The order of a differential equation is defined as the highest order derviative it contains the degree of a differential equation is defined as the power to which highest order derivative is raised.

Question 3.
If â and b̂ are unit vectors, then prove that | â + b̂ | = 2 cos \(\frac{\theta}{2}\), where θ is the angle between them.
Answer:
(â + b̂).(â + b̂) = |â|² + |b̂|² + 2(â.b̂)
|â + b̂|² = 1 + 1 + 2 cos θ
= 2(1 + cos θ) = 4 cos² \(\frac{\theta}{2}\)
∴ |â + b̂| = 2 cos\(\frac{\theta}{2}\)

Explanation: Here, â and b̂are the unit vectors.
Dot product of |â + b̂.|â + b̂|
= |â|² + |b̂|² + 2(â – b̂)
But â and b̂ are unit vectors
∴ (â + b̂)² = 1 + 1 + 2 â. b̂ cos θ
⇒ (â + b̂)² = 2 + 2.1.1. cos θ
⇒ (â + b̂)² = 2(1 – cos θ)
⇒ (â + b̂)² = 2 × 2 cos²\(\frac{\theta}{2}\)
⇒ (â + b̂) = \(\sqrt{4 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}}\)
⇒ |â + b̂| = 2 cos \(\frac{\theta}{2}\)
Hence proved.

Question 4.
Find the direction consines of the following line:
\(\frac{3-x}{-1}=\frac{2 y-1}{2}=\frac{z}{4}\)
Answer:
The given line is
\(\frac{x-3}{1}=\frac{y-\frac{1}{2}}{1}=\frac{z}{4}\)
Its direction ratios are (1, 1, 4).
Its direction consines are
\(\left(\frac{1}{3 \sqrt{2}}, \frac{1}{3 \sqrt{2}}, \frac{4}{3 \sqrt{2}}\right)\)

Explanation:
The given equation of line is:

Question 5.
A bag contains 1 red and 3 white balls. Find the probability distribution of the number of red balls if 2 balls are drawn at random from the bag one-by-one without replacement.
Answer:
Let X be the random variable defined as the number of red balls.
Then X = 0, 1
P(X = 0) = \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}\) = \(\frac{6}{12}\) = \(\)
P(X = 1) = \(\frac{1}{4} \times \frac{3}{3}+\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}\) = \(\frac{6}{12}\) = \(\frac{1}{2}\)

Probability Distribution Table:

x	0	1
P(X)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)

Explanation: Total number of balls in the bag = 4
Now, 2 balls are drawn from the bag one by one without replacement.
Let, X be the random variables defined as the number of red balls.
Then, X = 0, 1
P(X = 0) = \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
P(X = 1) = \(\frac{1}{4} \times \frac{3}{3}+\frac{3}{4} \times \frac{1}{3}\)
= \(\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)

x	0	1
P(X)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)

Caution:
As there is only 1 red ball in the bag, so in 2 draws we can get only 1 red balls at maximum.

Question 6.
Two cards are drawn at random from a pack of 52 cards one-by-one without replacement. What is the probability of getting first card red and second card Jack?
Answer:
The required probability = P((The first is a red jack card and The second is a jack card) or (The first is a red non-jack card and The second is a jack card))
= \(\frac{2}{52} \times \frac{3}{51}+\frac{24}{52} \times \frac{4}{51}\) = \(\frac{1}{26}\)

Explanation:
There are 52 cards in a pack of cards.
No. of red cards = 26
No. of pack = 4
∴ Required probability
= P(First card non-red jack, second card jack) + P(first cards red jack, second card jack)

SECTION – B
(Section – B has 4 short answer type (SA-2) questions of 3 marks each.)

Question 7.
Find: \(\int \frac{x+1}{\left(x^{2}+1\right)}\) dx
Answer:
Let \(\frac{x+1}{\left(x^{2}+1\right) x}\) = \(\frac{A x+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{x}\) = \(\frac{(A x+B) x+C\left(x^{2}+1\right)}{\left(x^{2}+1\right) x}\)
⇒ x + 1 = (Ax + B)x + C(x² + 1) (An identity)
Equating the coeffcients, we get
B = 1, C = 1, A + C = 0
Hence, A = -1, B = 1, C = 1

Explanation:
Let,
I = \(\int \frac{x+1}{\left(x^{2}+1\right) x}\) dx
By partial fraction
Let
\(\frac{x+1}{\left(x^{2}+1\right) x}\) = \(\frac{A x+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{x}\)
⇒ \(\frac{x+1}{\left(x^{2}+1\right) x}\) = \(\frac{(\mathrm{A} x+\mathrm{B}) x+\mathrm{C}\left(x^{2}+1\right)}{x\left(x^{2}+1\right)}\)
⇒ x + 1 = Ax² + Bx + Cx²+ C
⇒ x + 1 = (A + C) x² + Bx + C
on equating coeffcient, we get
A + C = 0
B = 1 and C = 1
∴ A = – c
A = – 1

Question 8.
Find the general solution of the following differential equation:
x\(\frac{d y}{d x}\) = yx sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\)
OR
Find the particular solution of the following differential equation, given that
y = 0 when x = \(\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = \(\frac{2}{1+\sin x}\)
Answer:
We have the differential equation:
x\(\frac{d y}{d x}\) = y – x sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\)
The equation is a homogeneous differential equation.
Putting y = vx
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = v + x\(\frac{d v}{d x}\)
The differential equation becomes
v + x\(\frac{d y}{d x}\) = v – sin v
⇒ \(\frac{d v}{\sin v}\) = –\(\frac{d x}{x}\)
⇒ cosec vdx = –\(\frac{d x}{x}\)
Integrating both sides, we get
log|cosec v – cot v| = – log |x| + log K, K > 0 (Here, log K is an arbitrary constant)
⇒ log |(cosec v – cot v) x| = log K
⇒ | (cosec v – cot v) x| = K
⇒ (cosec v – cot v) x = ±K
⇒ \(\left({cosec} \frac{y}{x}-\cot \frac{y}{x}\right)\)x = C, which is the required general solution.
OR
OR
The differential equation is a linear differential equation.
IF = e^{∫cot xdx} = e^{l0g sinx} = sin x
The general solution is given by

Explanation:
given, differential equation is:
x\(\frac{d y}{d x}\) = y – x sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\)
The given equation is a homogeneous differential equation.

⇒ cosec v dv = \(\frac{d y}{d x}\)
on integrating both sides
∫cosec v dv = ∫ –\(\frac{d x}{x}\)
⇒ log |cosec v – cot v| = – log x + log C
⇒ log (cosec v – cot v) + log x = log C
⇒ x(cosec v – cot v) = C
is the required general solution.
OR
given, differential equation
\(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = \(\frac{2}{1+\sin x}\)
The given differential equation is of the form
\(\frac{d y}{d x}\) + P(x) = Q(x)
Here, P(x) = cot x, Q(x) = \(\frac{2}{1+\sin x}\)
Then, I.F. = e^∫p(x)dx = e^{∫cot x.dx}
= e^{log sin x} = sin x
Then, general solution is given by:

Concept Applied:
The function f(x, y) in a homogeneous differential equation is a homogeneous function such that f(λx, λy) = λⁿ f(x, y) for any non-zero constant λ.

Question 9.

Answer:

Explanation:
Given

Question 10.
Find the shortest distance between the following lines:
\(\vec{r}\) = (î + ĵ – k̂) + s(2î + ĵ – k̂)
\(\vec{r}\) = (î + ĵ + 2k̂) + t(4î + 2ĵ – 2k̂)
OR
Find the vector and the cartesian equations of the plane containing the point î + 2ĵ – k̂ and parallel to the lines \(\vec{r}\) = (î + 2ĵ + 2k̂) + s(2î – 3ĵ + 2k̂) = 0 and \(\vec{r}\) = (3î + ĵ – 2k̂) + t((î – 3ĵ + k̂)) = 0
Answer:
Here, the lines are parallel The shortest distance
= \(\frac{\left|\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right) \times \vec{b}\right|}{|\vec{b}|}\) = \(\frac{|(3 \hat{k}) \times(2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})|}{\sqrt{4+1+1}}\)
(3k̂) × (2î + ĵ + k̂) = \(\left|\begin{array}{lll}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
0 & 0 & 3 \\
2 & 1 & 1
\end{array}\right|\) = – 3î + 6ĵ
Hence, the required shortest distance = \(\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{6}}\) units
OR
Since, the plane is parallel to the given lines, the cross product of the vectors 2î – 3ĵ + 2k̂ and î – 3 ĵ + k̂ will be a normal to the plane (2î – 3ĵ + 2k̂) × (î – 3 ĵ + k̂) = 3î – 3k̂
The vector equation of the plane is
\(\vec{r}\) . (3î – 3k̂) = (î + 2ĵ – k̂) . (3î – 3k̂) or \(\vec{r}\) . (î – k̂) = 2
and the cartesian equation of the plane is x – z -2 = 0.

Explanation: The given, equation of lines are

The shortest distance, between the likes are given by: = \(\frac{\left|\left(\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}\right) \times \vec{b}\right|}{|\vec{b}|}\)
Here,
\(\vec{a}_{1}\) = (î + ĵ – k̂)
\(\vec{a}_{2}\) = (î + ĵ – k̂)
\(\vec{b}\) = 2î + ĵ + k̂
∴ Distance between parallel lines

Caution:
Here, both the lines given are parallel so use the formula accordingly to get the answer.
OR
The given equation of the lines are

Now, the plane is parallel to the both equal of the lines.
Therefore, plane will be normal to the cross product of vectors 2î – 3ĵ + 2k̂ and î – 3ĵ + k̂.
= \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
2 & -3 & 2 \\
1 & -3 & 1
\end{array}\right|\)
= î(- 3 + 6) – ĵ(2 – 2) + k̂(- 6 + 3)
= 3î – 0ĵ – 3k̂
= 3î – 3k̂
And the equation of the plane contains the point (î + 2ĵ – k̂)

and the cartesian form of the equation of the plane will be x – z = 2 or x – z – 2 = 0.

Section – C
(Section – C has 4 Long answer type questions (LA) of 4 marks each.)

Question 11.
Evaluate:

Answer:
The given definite integral

Explanation: Consider,

Question 12.
Using integration, find the area of the region in the first quadrant enclosed by the line x + y = 2, the parabola y² = x and the x-axis.
OR
Using integration, find the area of the region :{(x, y):0 ≤ y ≤ √3x, x² + y² ≤ 4}
Answer:
Solving x + y = 2 and y² = x simultaneously, we get the points of intersection as (1, 1) and (4, – 2).

The required area = the shaded area =

OR
Solving y = √3x and x² + y² = 4, we get the points of intersection as (1, √3) and (- 1, – √3).

The required area = the shaded area

Explanation: The equations given are:

on solving equation (i) and (ii), we get points of intersection as (1, 1) and (4, -2).
∴ Area of shaded region

Concept Applied:
y² = x is a parabola with vertex at (0, 0) and it opens towards positive x-axis.
OR
Here, the given equation are
y = √3 ….. (i)
and x² + y² = 4 …(ii)
on solving (i) and (ii), we get
x² + (√3x)² = 4
⇒ x² + 3x² = 4
⇒ 4x² = 4 ⇒ x² = 1
Then, x = ±1
when x = 1, y = √3
when x = – 1, y = -√3
Then, points of intersection are (1, √3) and (-1 -√3)
Then,

Question 13.
Find the foot of the perpendicular from the point (1, 2, 0) upon the plane x – 3y + 2z = 9. Hence, find the distance of the point (1, 2, 0) from the given plane.
Answer:
The equation of the line perpendicular to the plane and passing through the point (1, 2, 0) is
\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z}{2}\)
The coordinates of the foot of the perpendicular are (µ + 1, – 3µ + 2, 2µ) for some µ.
These coordinates will satisfy the equation of the plane. Hence, we have
µ + 1 – 3(- 3µ + 2) + 2(2µ) = 9
⇒ µ = 1
The foot of the perpendicular is (2, – 1, 2).
Hence, the required distance
= \(\sqrt{(1-2)^{2}+(2+1)^{2}+(0-2)^{2}}\)
= √l4 units

Explanation: The equation of the plane is x – 3y + 2z = 9.
From the point (1, 2, 0) a perpendicular is dropped on the plane x – 3y + 2z = 9.
So, the equation of the line perpendicular to the given plane and passing through the point (1, 2, 0) is:
\(\frac{x-1}{1}\) = \(\frac{y-2}{- 3}\) = \(\frac{z}{2}\) = λ
Then, consider the coordinates of the foot of the perpendicular as (λ + 1, – 3λ + 2, 2λ)
Since, these points lies on the equation of the place, therefore, it will satisfy it
∴ (λ + 1) – 3(- 3λ + 2) + 2 (2λ) = 9
⇒ 14λ = 14 ⇒ λ = 1
Therefore, the required point or foot of the perpendicular is: (1 + 1, – 3 × 1 + 1, 2 × 1) i.e. (2, -1, 2)
Required perpendicular distance
= \(\sqrt{(1-2)^{2}+(2+1)^{2}+(0-2)^{2}}\)
= \(\sqrt{1+9+4}\)
= √l4 units

CASE-BASED/DATA-BASED

Question 14.

An insurance company believes that people can be divided into two classes: those who are accident prone and those who are not. The company’s statistics show that an accident-prone person will have an accident at sometime within a fixed one-year period with probability 0.6, whereas this probability is 0.2 for a person who is not accident prone. The company knows that 20 percent of the population is accident prone.

Based on the given information, answer the following questions.
(i) What is the probability that a new policyholder will have an accident within a year of purchasing a policy?
(ii) Suppose that a new policyholder has an accident within a year of purchasing a policy. What is the probability that he or she is accident prone?
Answer:
Let E₁ = The policyholder is accident prone.
E₂= The policyholder is not accident prone.
E = The new policy holder has an accident within a year of purchasing a policy.

Explanation: Consider E₁ = Policy holder is prove to
E₂ = Policy holder is not prove to accident
E₃ = Policy holder met with an accident in year of purchase.
(i)

(ii) Here, we need to find the probability of P\(\left(\frac{\mathrm{E}_{1}}{\mathrm{E}}\right)\)
So, by Baye’s theorem

Caution:Read the case carefully, to get an idea about the probabilites given and what is needed to be calculated to get the desired results.

Students can access the CBSE Sample Papers for Class 12 Maths with Solutions and marking scheme Term 2 Set 3 will help students in understanding the difficulty level of the exam.

CBSE Sample Papers for Class 12 Maths Term 2 Set 3 with Solutions

Time Allowed: 2 Hours
Maximum Marks: 40

General Instructions:

• This question paper contains three sections-A. B and C. Each part is compulsory.
• Section-A has 6 short answer type (SA1) questions of 2 marks each.
• Section-B has 4 short answer type (SA2) questions of 3 marks each.
• Section-C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.
• There is an Internal choice in some of the questions.
• Q14 is a case-based problem having 2 sub parts of 2 marks each.

Section – A
(Section – A has 6 short answer type (SA-1) questions of 2 marks each.)

Question 1.
Evaluate ∫\(\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^{x}}\) dx. (2)
Answer:
Let I = ∫\(\frac{2^{x+1}-5^{x-1}}{10^{x}}\) dx

Question 2.
A line makes angle α, β, γ with the coordinate axes. If α + β = 90°, then find the value of γ. (2)
Answer:
If a tine makes angles α, β, γ with coordinate axes, then we have,
cos² α + cos²β + cos²γ = 1
Since, α + β = 90°
⇒ α = 90° – β
⇒ cos α = cos (90° – β)
⇒ cos α = sin β
⇒ cos²α = sin²β
= 1 – cos²β
⇒ cos²α + cos²β = 1
From (i) and (ii), we get
⇒ 1 + cos²γ = 1
⇒ cos²γ = 0
Hence, γ = \(\frac{\pi}{2}\) = 90°

Question 3.
Find the probability of the occurrence of a number greater than 2 in a throw of a die, if it is known that only even numbers can occur.
OR
An unbaised die is thrown. If a random variable X is defined as

Write the probability distribution of X. (2)
Answer:
Let A be the event of “occurrence of an even number”, and B be the event of “occurrence of a number greater than 2.
∴ P(A) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
And P(B n A) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
[∵ 4 and 6 are even numbers from 1 to 6 that are greater than 2]
Now,
Required probability = P(B/A)
= \(\frac{P(B \cap A)}{P(A)}\)
= \(\frac{1 / 3}{1 / 2}=\frac{2}{3}\)
OR
Here, X takes the values 0 and 1.
Also, P(X = 0) = P(an odd number = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
And, P(X = 1) = P(an even number) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
Thus, the probability distribution of X is:

Question 4.
If \(\vec{a}\) = 5î – ĵ – 3k̂ and \(\vec{b}\) = î + 3ĵ – 5k̂, then show that \((\vec{a}+\vec{b})\) and \((\vec{a}-\vec{b})\) are orthogonal. (2)
Answer:
We have,
\(\vec{a}+\vec{b}\) = (5î – ĵ – 3k̂) + (î + 3ĵ – 5k̂)
= 6î + 2ĵ – 8k̂
and \(\vec{a}-\vec{b}\) = (5î – ĵ – 3k̂) – (î + 3ĵ – 5k̂)
= 4î – 4ĵ + 2k̂

Now, \((\vec{a}+\vec{b})\). \((\vec{a}-\vec{b})\) = (6î + 2ĵ – 8k̂) . (4î – 4ĵ + 2k̂)
= 6 × 4 + 2 × (- 4) + (- 8) × 2
= 24 – 8 – 16
= 0

Hence, \((\vec{a}+\vec{b})\) and \((\vec{a}-\vec{b})\) are orthogonal i.e., perpendicular to each other.

Question 5.
Check whether the differential equation (x – y) \(\frac{d y}{d x}\) = x + 2y is homogenous or not. (2)
Answer:
We have,

Since, the power of λ is zero.
∴ The given differential equation is homogeneous.

Question 6.
Bag I contains 2 white and 4 red balls. Bag II contains 3 white and 3 red balls. One of the bags is selected at random and a ball is drawn from it. If the ball drawn is white, what is the probability that it is drawn from Bag I? (2)
Answer:
Let E₁ and E₂ be the events of selecting Bag I and Bag II respectively.
Also, let W be the event of drawing a white ball. Then,
P(E₁)= \(\frac{1}{2}\) and P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)

Section – B
(Section – B has 4 short answer type (SA-2) questions of 3 marks each.)

Question 7.
Evaluate ∫tan^-1(secx + tanx)dx.
OR
Evaluate ∫₀¹ \(\frac{1}{\sqrt{a x-x^{2}}}\) dx. (3)
Answer:
Let ∫tan^-1(secx + tanx)dx.

[Dividing numerator and denominator by \(\frac{x}{2}\)]

Question 8.
Find the general solution of y² dx + (x² – xy + y²) dy = 0. (3)
Answer:
Given, diffrentiaL equation is
y²dx + (x² – xy + y²)dy =0
⇒ y²dx = -(x² – xy + y²)dy
⇒ y² \(\frac{d x}{d y}\) = -(x² – xy + y²)
⇒ \(\frac{d x}{d y}=-\left(\frac{x^{2}}{y^{2}}-\frac{x}{y}+1\right)\) ……(i)
This is a homogeneous differential equation.

Let x = vy …….(ii)
\(\frac{d x}{d y}\) = v + y\(\frac{d v}{d y}\)
Substituting these values in equation (i), we get
v + y\(\frac{d v}{d y}\) = -(v² – v + 1)
⇒ y\(\frac{d v}{d y}\) = -v² – 1
⇒ \(\frac{d v}{d y}\)

On integrating both sides, we get
tan^-1(y) = -log y + c
⇒ tan^-1\(\) + log y = c [From (ii)]

Caution:
Here, we are differentiating x w.r.t y so we will use x = vy for substitution.

Question 9.
Find the distance between the parallel planes 6x + 2y – 3z = 12 and 12x + 4y – 6z = 17. (3)
Answer:
Given: Equation of ptanes ore:
6x + 2y – 3z = 12 ………(i)
and 12x + 4y – 6z = 17
or 6x + 2y – 3z = \(\frac{17}{2}\)
∵ Planes (1) and (ii) are paralleL

∴ Distance between them

Related Theory:
Distance between two parallel planes ax + by + cz = d₁ and ax + by + cz = d₂ is given as \(\left|\frac{d_{1}-d_{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|\)

Question 10.
Let the vectors \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) be given as a₁x î + a₂ĵ + a₃ k̂, b₁î + b₂ĵ + b₃k̂ and c₁î + c₂ĵ + c₃k̂ respectively. Then show that \(\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a} \times \vec{c})\)
OR
Find the area of the triangle whose vertices are A (1,1,2), B (2, 3, 5) and C (1, 5, 5). (3)
Answer:
We have,
\(\vec{b}+\vec{c}\) = (b₁î + b₂ĵ + b₃k̂) + (c₁î + c₂ĵ + c₃k̂)
= (b₁ + c₁)î + (bsub>2 + csub>2)ĵ + (b₃ + c₃) k̂

= {a₂ (b₃ + c₃) – a₃ (b₂ + c₂)}î – {a₁ (b₃ + c₃) – a₃(b₁ + c₁}ĵ + {a₁(b₂ + c₂) – a₂(b₁ + c₁)k̂

So \((\vec{a} \times \vec{b})+(\vec{a} \times \vec{c})\) = (a₂b₃ – a₃b₂)î – (a₁b₃ – a₃b₁)ĵ + (a₁b₂ – a₂b₁) k̂ + (a₁c₃ – a₃c₁) î -(a₁c₃ – a₃c₁)ĵ + (a₁c₂ – a₂c₁) k̂
= {a₂(b₃ + c₁) – a₃(b₂ + c₂)} î – {a₁(b₃ + c₃) – a₃(b₁ + c₁}ĵ + {i (b₂ + c₂) – 2 (b₁ + c₁)} k̂ …(iv)

From (i) and (iv), we get
\(\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a} \times \vec{c})\)
Hence proved.

OR

We have, \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = (2 – 1)î + (3 – 1)ĵ + (5 – 2) k̂
= î + 2ĵ + 3k̂

and \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) = (1 – 1)î + (5 – 1)ĵ +(5 – 2)k̂
= 4ĵ +3k̂

We know,
Area of ∆ABC = \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|\)

= (6 – 12)î – (3 – 0)ĵ + (4 – 0)k̂ – 6î – 3ĵ + 4k̂
∴\(|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|=\sqrt{(-6)^{2}+(-3)^{2}+4^{2}}\)
= \(\sqrt{36+9+16}\)
= \(\sqrt{61}\)
∴ Area of ∆ABC = \(\frac{1}{2}|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}|=\frac{\sqrt{61}}{2}\)sq. units

Section – C
(Section – C has 4 Long answer type questions (LA) of 4 marks each.)

Question 11.
Evaluate ∫\(\frac{1}{3+2 \sin x+\cos x}\) dx
OR
Evaluate ∫₀^π/2\(\frac{\cos x}{1+\cos x+\sin x}\) dx. (4)
Answer:
Let I = ∫\(\frac{1}{3+2 \sin x+\cos x}\) dx

Put tan \(\frac{x}{2}\) = t
⇒ \(\frac{1}{2}\)sec²\(\frac{x}{2}\) dx = dt
⇒ sec²\(\frac{x}{2}\) dx = 2dt
∴ I = ∫\(\frac{d t}{t^{2}+2 t+2}\)
= ∫\(\frac{d t}{(t+1)^{2}+1}\)
= tan^-1(t + 1) + C
[∵∫\(\frac{1}{x^{2}+a^{2}}\)dx = \(\frac{1}{a}\)tan^-1\(\frac{x}{a}\)
= tan^-1(tan\(\frac{x}{2}\) + 1) + C
OR

Put 1 + tan\(\frac{x}{2}\) = t
⇒ \(\frac{1}{2}\)sec² \(\frac{x}{2}\)dx = dt
or sec² \(\frac{x}{2}\)dx = 2dt
Also, when x = 0, t = 1
when x = \(\frac{π}{2}\) t =2
∴ I₁ = ∫₁²\(\frac{d t}{t}\)
= [log t]₁²
= log 2

Substituting the value of I₁ in (iii), we get
2I = \(\frac{π}{2}\) – Log 2
⇒ I = \(\frac{π}{2}\) – \(\frac{1}{2}\)Log 2

Question 12.
Find the area bounded by the curve y = √x, x = 2y + 3 in the first quadrant and x-axis. (4)
Answer:
Given: y= √x and x = 2y + 3 in the first quadrant
Putting x = 2y + 3 in y = √x we get
y = \(\sqrt{2 y+3}\)
⇒ y² = 2y+3
⇒ y² – 2y – 3 = 0
⇒ y² – 3y + y – 3 = 0
⇒ y(y – 3) + 1(y – 3) = 0
⇒ (y + 1)(y – 3) = 0
⇒ y = -1, 3
∴ x = 1.9
∴ Points of intersection of the given curve and the line are (1, -1) and (9, 3).

∴ Required area of shaded region

Question 13.
If î + ĵ + k̂, 2î +5ĵ, 3î + 2 ĵ – 3k̂ and î – 6ĵ – k̂ are the position vectors of points A, B, C and D respectively, then find the angle between the vectors \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) and \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\). (4)
Answer:
We have, \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = (2 – 1)î + (5 – 1)ĵ + (0 – 1)k̂
= î + 4ĵ – k̂
And
\(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) = (1 – 3)î +(-6 – 2) + (-1 + 3)k̂
= -2î – 8ĵ + 2k̂

Let θ be the angle between the vectors \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) and \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\)

Hence the angle between the vectors \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) and \(\overrightarrow{\mathrm{CD}}\) is π.

Case-Based/Data-Based

Question 14.
In an examination, an examinee either guesses or copies or knows the answer of MCQs with four choices. The probability that he makes a guess is \(\frac{1}{3}\), and the probability that he copies answer is \(\frac{1}{6}\). The probability that his answer is correct given that he copied it, is \(\frac{1}{8}\)

Based on the above information, answer the following two questions:
(A) What is the probability that he answers the question correctly? (2)
Answer:
Let E₁, E₂, E_3, and E be the events defined as follows:
E₁: Examinee guesses the answer.
E₂: Examinee copies the answer.
E₃: Examinee knows the answer.
E: Examinee answers the question correctly.
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{3}\)
P(E₂) = \(\frac{1}{6}\)
P(E₃) = 1 – \(\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{2}\)

Also, = (Since, a question has four choices, out of which only one is correct.)
P\(\left(\frac{E}{E_{2}}\right)=\frac{1}{8}\)
P\(\left(\frac{E}{E_{3}}\right)\) = 1

(When the student knows the answer, the probability of his answer being correct is 100%.)

(A) P(E) = P(E₁) × P\(\left(\frac{E}{E_{1}}\right)\) + P\(\left(\frac{E}{E_{2}}\right)\) + P(E₃) × P\(\left(\frac{E}{E_{3}}\right)\)

(B) Given that he answered the question correctly, what is the probability that he copied the answer? (2)
Answer:

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CBSE Sample Papers for Class 12 Maths Term 2 Set 2 with Solutions

Time Allowed: 2 Hours
Maximum Marks: 40

General Instructions:

• This question paper contains three sections-A. B and C. Each part is compulsory.
• Section-A has 6 short answer type (SA1) questions of 2 marks each.
• Section-B has 4 short answer type (SA2) questions of 3 marks each.
• Section-C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.
• There is an Internal choice in some of the questions.
• Q14 is a case-based problem having 2 sub parts of 2 marks each.

Section – A
(Section – A has 6 short answer type (SA-1) questions of 2 marks each.)

Question 1.
Let E and F be two events such that P(E) = \(\frac{1}{3}\), P(F) = \(\frac{1}{4}\), and P(E uF) = \(\frac{1}{2}\).Show that E and F are independent events. (2)
Answer:
We know,
P(E ∪ F) = P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
⇒ P(E ∩ F) = P(E) + P(F) – P(E ∪ F)
= \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12}\)
Also, P(E) × P(F) = \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}\)
∵ P(E) × P(F) = P(E ∩ F)
∴ E and F are independent events.

Question 2.
Find the cosine of the angle between the vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\), where \(\vec{a}\) = 3î – 2ĵ – k̂ and \(\vec{b}\) = -2ĵ.
OR
Find λ and µ (2î + 6ĵ + 27k̂) × (î + j + pk̂) = 0 (2)
Answer:
Let the angle between the vector \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) be θ.
Then, cos θ = \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)
⇒ cos θ = \(\frac{(3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k}) \cdot(-2 \hat{j})}{|3 \hat{i}-2 \hat{j}-\hat{k} \|-2 \hat{j}|}\) ………(i)
Here, (3î – 2ĵ – k̂).(-2ĵ) = -6î.ĵ + 4ĵ.ĵ + 2k̂.ĵ
= 0 + 4 + 0
= 4

⇒ (6µ – 27λ)î – (2µ – 27)ĵ +(2λ – 6)k̂ = 0
⇒ 6µ – 27λ = 0
⇒ 2µ – 27 = 0
⇒ 2λ – 6 = 0
⇒ λ = 3
µ = \(\frac{27}{2}\)

Question 3.
Evaluate ∫ log x dx. (2)
Answer:
Let I = ∫ log x dx

Using integrating formu[a for a product of two functions.
= logx.∫1 dx – ∫[\(\frac{d}{d x}\)(log x).∫1.dx]dx
= x log x – ∫\(\frac{1}{x}\) . x dx
= x log x – ∫1dx
= x tog x – x + C

Question 4.
if the foot of a perpendicular drawn from origin to a plane is (5, – 3, – 2), then find the equation of the plane. (2)
Answer:
We know, general equation of a plane is a(x – x₁) + b(y – y₁) + c(z – z₁) = 0 0(0,0,0)

From the figure, normal to the required plane is OP.
where, \(\vec{OP}\) = (5 – 0)î + (- 3 – 0) ĵ + (- 2 – 0)k̂
= 5î – 3ĵ – 2k̂

(a, b, c) = (5, -3, -2)
Also, the plane contains the point P(5, – 3, -2)
∴ Required equation of plane is:
5(x – 5) + (- 3) (y + 3) + (- 2) (z + 2) = 0
⇒ 5x – 3y – 2z – 38 = 0

Question 5.
Evaluate (2)

Answer:

= [2 tan^-1x – x]¹₀
= [(2 tan^-11 – 1) — (2 tan^-1 0 – 0)]
= [(2.\(\frac{\pi}{4}\) – 1) – o]
= \(\frac{\pi}{2}\) – 1

Question 6.
Two cards are drawn successively without replacement from a well-shuffled pack of 52 playing cards. Find the probability distribution of the number of kings. (2)
Answer:
Let x denote the discrete random variable ‘the number of king1.
Then, x takes values 0, 1, and 2.
∴ P(X = 0) = P(both cards are not king)
= \(\frac{{ }^{48} C_{2}}{{ }^{52} C_{2}}=\frac{48 \times 47}{52 \times 51}=\frac{188}{221}\)

P(X = 1) = P(one card is king)
= \(\frac{{ }^{48} C_{1} \times{ }^{4} C_{1}}{{ }^{52} C_{2}}=\frac{48 \times 4 \times 2}{52 \times 51}=\frac{32}{221}\)

P(X = 2) = P(both ore king cards)
= \(\frac{{ }^{4} \mathrm{C}_{2}}{{ }^{52} \mathrm{C}_{2}}=\frac{4 \times 3}{52 \times 51}=\frac{1}{221}\)

So, the required probabiLity distribution of X is

Section – B
(Section – B has 4 short answer type (SA-2) questions of 3 marks each.)

Question 7.
Solve the differential equation
(1 + y²) tan^-1 x dx + 2y (1 + x²)dy = 0. (3)
Answer:
Given, differentiaL equation is
(1 + y²)tan^-1xdx + 2y(1 + x²)dy = 0
⇒ (1 + y²)tan^-1xdx = -2y(1 + x²)dy
⇒ \(\left(\frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}}\right)\)dx = \(\left(\frac{-2 y}{1+y^{2}}\right)\)dy

On integrating both sides, we get
∫\(\frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}}\)dx = ∫\(\frac{2 y}{1+y^{2}}\)dy
Put tan^-1 x = t in LHS. we get
\(\frac{1}{1+x^{2}}\)dx = dt

Put 1 + y² = u in RHS, we get
2y dy = du
∫t dt = ∫\(\frac{d u}{u}\)
⇒ \(\frac{t^{2}}{2}\) = – log u + c
⇒ (tan^-1x)²= – log(1 + y²)+c
⇒ (tan^-1 x)² + log(1 + y²)=c
which is the required soLution of the given differential equation.

Question 8.
Three vectors \(\vec{a}, \vec{b}\) and \(\vec{c}, \vec{a}\) satisfy the condition \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}\) . Evaluate the quantity µ = \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\), if |\(\vec{a}\)|= 3, |\(\vec{b}\)|= 4 and |\(\vec{c}\)| = 2.
OR
Let \(\vec{a}\) = 2î + k̂, \(\vec{b}\) = î + ĵ + k̂ and \(\vec{c}\) = 4î – 3ĵ + 7 k̂. Find a vector \(\vec{r}\) which satisfies \(\vec{r} \times \vec{b}=\vec{c} \times \vec{b}\) and \(\vec{r} \cdot \vec{a}\) = 0. (3)
Answer:
Given

Similarly, \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}=-|\vec{b}|^{2}\) = -16 …(ii)
And, \(\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{c}=-|\vec{c}|^{2}\) =—4 ………..(iii)
Adding (i), (ii) and (iii), we have
2(\((\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})\)) = 9 – 16 – 4
= – 29
Since μ = \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\) (Given)
2 × μ = -29
= \(\frac{-29}{2}\)
Hence, the value of μ is \(\frac{-29}{2}\).
OR
Let the vector \(\vec{r}\) be given as xî + yĵ + zk̂
Now, \(\vec{r} \cdot \vec{a}\) = 0
⇒ (xî + yĵ + zk̂).(2î + k̂) = 0
⇒ 2x + z = 0 …(i)

Also, \(\vec{r} \times \vec{b}=\vec{c} \times \vec{b}\)

⇒ (y – z)î +(x – z)ĵ +(x – y)k̂ = – 10î – 3ĵ +7k̂
⇒ y – z = -10, x – z = -3. x – y = 7 ……….(ii)
Solving eq. (i) and (ii), we get
x = -1, y = -8, z = 2
∴ \(\vec{r}\) = -î – 8ĵ + 2k̂

Question 9.
Let a, b and c be three vectors such that \(\vec{a}\) ≠ 0 and \(\vec{a} \times \vec{b}=2 \vec{a} \times \vec{c}\), |\(\vec{a}\)| = |\(\vec{c}\)| = 1, |\(\vec{b}\)| = 4 and |\(\vec{b} \times \vec{c}\)| = \(\sqrt{15}\) , \(|\vec{b} \times \vec{c}|\) = λ\(\vec{a}\).Then find the value of λ. (3)
Answer:
Let angle between \(\vec{b}\) and \(\vec{c}\) be θ.
∵ \(|\vec{b} \times \vec{c}|\)
\(|\vec{b}| \cdot|\vec{c}|\) sin θ = \(\sqrt{15}\)

⇒ (4) (1) sin θ = \(\sqrt{15}\)
⇒ sin θ = \(\frac{\sqrt{15}}{4}\)
⇒ cos θ = \(\frac{1}{4}\)

Now, \(\vec{b}\) – 2\(\vec{c}\) = λ\(\vec{a}\)
Taking mode both sides, we get

⇒ 16 = λ²
⇒ λ = 4
Hence, the value of λ is 4.

Question 10.
Evaluate ∫\(\frac{1}{x^{1 / 2}+x^{1 / 4}}\)dx
OR
Evaluate ∫²_-1f(x) dx, where f(x) = |x + 1| + |x| + |x – 1|. (3)
Answer:
Let I = ∫\(\frac{1}{x^{1 / 2}+x^{1 / 4}}\)dx
Put x = t⁴
⇒ dx = 4t³

We have,
f(x) = |x + 1| + |x| + |x – 1|

Section – C
(Section – C has 4 long answer type questions (LA) of 4 marks each.)

Question 11.
Find the area of the region bounded by the curve y = cos x between x = 0 and x = π.
OR
Find the area of the region bounded by the lines x + 2y = 2, y – x = 1 and 2x + y = 7. (4)
Answer:
The graph of cosine function is positive from 0 to \(\frac{\pi}{2}\) and negative from \(\frac{\pi}{2}\) to π.

= (1 + 0) + (0 + 1)
= 1 + 1 = 2 sq. units
OR
Given equations of the lines are x + 2y = 2, y – x = 1 and 2x + y = 7.

These lines intersect each other at points C(2, 3), D(0, 1) and E(4, – 1).
∴ Required area = ar(OACDO) + ar(ABCA) – ar(OADO) + ar(AEFBA) – ar(BEFB)

Question 12.
It is known that 40% of the students in a certain college are girls and 50% of the students are above the median height. If \(\frac{2}{3}\) of boys are above the median height, what is the probability that a randomly selected student who is below the median height is a girl? (4)
Answer:
Let the total number of students in the college be 100. Then, 40 are girls and 60 are boys.

Here, \(\frac{2}{3}\), of boys are above the median height
i.e., \(\frac{2}{3}\) × 60 = 40 boys are above the median height
Since, only 50 students are above the median height, so only 10 girls are above the median height.

Now, let the event G, B and M are described as:
G : A girl is selected.
B : A boy is.
M : Student selected is below the median height

Question 13.
Evaluate ∫₀¹ tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right)\)dx (4)
Answer:
Let I = ∫₀¹ tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^{2}}\right)\)dx
Put x = tan y
⇒ dx = sec²y dy
For x = 0, y = tan^-1 0 = 0
For x = 1, y = tan^-1 1 = \(\frac{\pi}{4}\)

Case-Based/Data-Based

Question 14.
A football match is organized between students of class XII of two schools, say school A and school B. For each, a team from each school is chosen. Remaining students of Class XII of schools A and B are respectively sitting on the plane represented by the equations \(\vec{r}\)(î + ĵ + 2k̂) = 5 and \(\vec{r}\)(2î – ĵ + k̂) = 6, to cheer up the team of their respective school.

Based on the above information, answer the following two questions:
(i) Write the cartesian equation of the plane on which students of school A are seated. (2)
Answer:
Vector equation of plane on which students of school A are seated is:
\(\vec{r}\) .(î + ĵ + 2k̂) = 5
⇒ (xî + yĵ + zk̂).(î + ĵ + 2k̂) =5
⇒ x + y + 2z = 5
which is the required cartesian form.

(ii) Write the intercept form of the equation of the plane on which students of school B are seated. Also, find the distance of this plane from the origin. (2)
Answer:
Cartesian equation of the plane on which students of school B are seated is x – y + z = 6.
\(\frac{2 x}{6}-\frac{y}{6}+\frac{z}{6}\) = 1
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{-6}+\frac{z}{6}\) = 1
Which is the required intercept form.
Its distance from the origin = \(\left|\frac{-6}{\sqrt{4+1+1}}\right|\)
= √6 units

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CBSE Sample Papers for Class 10 Maths Standard Term 2 Set 2 for Practice

Time Allowed: 2 Hours
Maximum Marks: 40

General Instructions:

1. The question paper consists of 14 questions divided into 3 sections A, B, C.
2. All questions are compulsory.
3. Section A comprises of 6 questions of 2 marks each. Internal choice has been provided in two questions.
4. Section B comprises of 4 questions of 3 marks each. Internal choice has been provided in one question.
5. Section C comprises of 4 questions of 4 marks each. An internal choice has been provided in one question. It contains two case study-based questions.

SECTION – A
(12 Marks)

Question 1.
In the given figure, two circles touch each other at the point C. Prove that the common tangent to the circles at C, bisects the common tangent at P and Q.

AB is a tangent to a circle with centre O and radius 4 cm, at point A. If AOB is an isosceles triangle, then find the distance of the point B from the centre of the circle. (2)
Answer:
We know, tangents drawn from an external point to a circle are equal in length.
So, for a circle with centre A,
TP = TC ………………………………… (i)
And, for a circle with centre B,
TC = TQ ………………………………… (ii)
From (i) and (ii),
we have
TP = TQ
⇒ T is the mid-point of PQ.
Hence, TC bisects PQ.
Hence, proved.
OR
Given: ΔAOB is an isosceles triangle.
Also, ∠OAB = 90° [∵ Tangent ⊥ Radius]
So, OB is the hypotenuse, and OA = AB = 4 cm
∴ Using Pythagoras theorem,

Hence, distance of the point B from the centre of the circle is 4\(\sqrt{2}\) cm.

Question 2.
If the area of base of a cone is 770 cm² and its curved surface area is 814 cm², find the slant height of the cone. (2)
Answer:
Let radius of base of cone be r cm. Now, according to the question,

Hence, slant height of the cone is 7.4\(\sqrt{5}\)

Question 3.
Neha wrote 30 numbers in her notebook, whose mean is 18. If she increased each number by 1, what is the new mean? (2)
Answer:
Given: Mean of 30 numbers = 18
∴ Sum of 30 numbers = 18 x 30
= 540

Since, each observation is increased by 1.

So. sum of total of 30 observations wiLl be increased by (1 + 1 + 1 + 1 ……. 30 times) i.e. 30.
∴ Newsum = 540 + 30
= 570
∴ New mean = \(\frac{570}{30}\)
Hence, the new mean is 19.

Related Theory

Shortcut Method: If the mean of a given set of data is x, and each observation is increased by a fixed number a, then new mean = x + a.

Question 4.
Find the relation between a, b and c if the roots of the quadratic equation (a – b)x² – (b – c) x + c – a = 0 are equal. (2)
Answer:
Given equation is
(a – b)x² – (b – c)x + c – a = 0
∴ A = (a – b), B = -(fa – c), C = c – a
Since, the given equation has equal roots
∴ Discriminant =0
⇒ B² – 4AC = 0
⇒ [-(b – c)]² – 4 x (a – b) x (c – a) = 0
⇒ (b²-2bc + c²) – 4 (ac – a² – bc + ab) = 0
⇒ 4a² + b² + c² – 4ab + 2be – 4ac = 0
⇒ (-2a)² + b² + c² + 2 x (-2a) xb + 2xbxc + 2 x (-2a) x c = 0
⇒ (-2a + b + c)²=0
⇒ -2a + b + c = 0
⇒ b + c = 2a
which is the required relation between a, fa and c.

Question 5.
In an A.P., the first term is 12 and the common difference is 6. If the last term of the A.P. is 252, find its middle term. (2)
Answer:
We have, a = 12, d = 6 and l = 252.
Let there be n terms in the A.P.
Then, l = a + (n – 1) d
⇒ 252 = 12 + (n – 1)6
⇒ 6(n – 1) = 240
⇒ n – 1 = 40
⇒ n = 41

Concept Applied
If n is odd, then

Question 6.
Find the median of the following data:
9, 7, 6,11, 15, 8, 7, 4, 10
OR
Compute the mode for the following frequency distribution: (2)

Size of items (in cm)	Frequency
0-4	5
4-8	7
8-12	9
12-16	17
16-20	12
20-24	10
24-28	6

Answer:
Arranging the given data in ascending order, we get
4, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 15
Here, number of terms (n) = 9 i.e. odd

Hence, median of the data is 8.

Caution
w Before applying the formula of median, always arrange the given set of data in ascending order.
OR
Here, maximum frequency = 17
And, class with maximum frequency is 12 – 16.
∴ Modal class = 12 – 16
We know,

Hence, the mode of given frequency distribution is 14.46.

SECTION – B
(12 Marks)

Question 7.
Draw a line segment AB of length 6 cm and mark a point X on it such that bx = \(\frac{4}{5}\) AB. (2)
Answer:
We have,


Steps of construction:

1. Draw a line segment AB of length 6 cm.
2. From point A, draw a ray AM such that ∠BAM is acute.
3. On ray AM, mark 1 + 4 i.e. 5 points namely, A₁, A₁, A₃, A₄, A₅ at equal distances.
4. Join A₅B.
5. From point Alf draw a line A₁X, parallel to A₅B, intersecting AB at X.

Thus, point X divides AB in the ratio 1: 4.

Question 8.
Solve for x:
\(\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x+2}=4-\frac{2 x+3}{x-2}, x \neq 1,-2,2\) (3)
Answer:
We have,

Question 9.
From the top of a 7 m high building, the angle of elevation of the top of a cable tower is 60° and the angle of depression of its foot is 45°. Determine the height of the tower. (3)
Answer:
Let AB be the building and CD be the cable tower.


Hence, height of the cable tower is 7(\(\sqrt{3}\) + 1)m.

Caution
If the values of \(\sqrt{3}, \sqrt{2}\) ore not specified in the question, you may leave your final answer in terms of \(\sqrt{3}, \sqrt{2}\).

Question 10.
The eighth term of an A.P. is half its second term and the 11^th term exceeds one-third of the fourth term by 1. Find the sum of its first 13 terms.
OR
David started work in the year 1995 at an annual salary of ₹ 5000 and received an increment of ₹ 300 each year. In which year did his income reach 8000? (3)
Answer:
Let a be the first term and d be the common difference of the A.P.
Now, a₈ = \(\frac{1}{2}\)a₂
or, 2a₈ = a₂
⇒ 2(a + 7d) = a + d
⇒ a + 13d = 0 ………………………………………… (i)
⇒ 5x (x + 5) – 6(x + 5) = 0 =* (5x – 6) (x + 5) = 0

Also,
a₁₁ – \(\frac{1}{3}\)a₄ = 1
or, 3a₁₁ – a₄ = 3
⇒ 3(a+ 10d) – (a + 3d) = 3
⇒ 2a + 27d = 3 …………………………………………….. (ii)
Solving equations (i) and (ii), we get a = -39, d = 3
Now, sum of first 13 terms

OR
Since, annual salary of David increases uniformly by a constant amount every year, so, his salary every successive year forms an A.P. with a = ₹ 5000, d = ₹ 300.
Let ₹ 8000 be the salary of David in the n^th year.

Then, a_n = 8000
⇒ a + (n – 1)d = 8000
⇒ 5000 + (n – 1) x 300 = 8000
⇒ 300(n – 1) = 3000
⇒ (n – 1) = 10
⇒ n = 11
Since, 1995 + 11 = 2006, so in the year 2006,
David’s income would reach ₹ 8000.

SECTION – C
(16 Marks)

Question 11.
In the given figure, XY and X’Y’ are two parallel tangents to a circle with centre O and another tangent AB with point at contact C is intersecting XY at A and X’Y’ at B. Prove that ∠AOB = 90°.

Answer:
Given: XY, X’Y’ and AB are tangents to a circle with centre O at points P, Q and C respectively.

To prove: ∠AOB = 90°

Proof: We know, tangents drawn from an external point to a circle are equal in length.
∴ AP = AC ………………………………… (i)
[Tangents from point A]. and BC = BQ ………………………………… (ii)
[Tangents from point B]

Now, in ΔAOP and AOC
AP = AC [From (i)]
OP = OC [Radii]
OA = OA [Common side]
∴ ΔAOP ≅ ΔAOC
[SSS congruency rule]
∴ ∠AOP = ∠AOC [c.p.ct.] ………………………………… (iii)
Similarily,
ΔBOC ≅ ΔBOQ
∴ ∠BOC = ∠BOQ ………………………………… (iv)

Now,
∠POA + ∠AOC + ∠BOC + ∠BOQ = 180° [Linear pair]
⇒ ∠AOC + ∠AOC + ∠BOC + ∠BOC = 180°
[From (iii),(iv)]
⇒ 2(∠AOC + ∠BOC) = 1800
⇒ 2(∠AOB) = 1800
or, ∠AOB = 90°

Hence, proved.

Question 12.
The dimensions of a solid iron cuboid are 4.4 m x 2.6 m x 1 m. It is melted and recast into a hollow cylindrical pipe of inner radius 30 cm and thickness 5 cm. Find the length of the pipe.
OR
The internal and external diameters of a hollow hemispherical vessel are 24 cm and 25 cm, respectively. If the cost to paint 1 cm² of the surface is 5 paise, find the total cost of painting the vessel all over. (4)
Answer:

Internal radius of pipe (r) =30 cm and, its thickness = 5 cm
∴ External radius of pipe (R)
= 30 + 5 = 35 cm
Let length of the pipe be h cm.
Then,
Volume of iron in cuboid = Volume of iron in the pipe
⇒ 440 x 260 x 100 cm³ = n(R² – r²)h
⇒ 440 x 260 x 100 = \(\frac{22}{7}\) x [(35)² – (30)²] x h
⇒ 440 x 260 x 100 = \(\frac{22}{7}\) (65 x 5) x h
[∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]
\(h=\frac{440 \times 260 \times 100 \times 7}{22 \times 65 \times 5}\)
= 11200 cm
Hence, length of the pipe is 11200 cm, or 112 m.

OR

Given:
Internal diameter = 24 cm and, external diameter = 25 cm

Now, total area to be painted
= CSA of outer part of hemisphere + CSA of inner part of hemisphere + Area of ring base = 2πR² + 2πr² + π(R² – r²)
= 2 x π x (12.5)² + 2 x π x (12)² + n [(12.5)² – (12)²]
= 312.5π + 288π + 12.25π
= 6 1 2.75π
= 612.75 x 3.14
= 1924.035 cm²

Now,
Rate of painting = 5 paise per cm²
= ₹ 0.05 per cm²
∴ Total cost of painting = Rate x Area
= 0.05 x 1924.035
= ₹ 96.2

Question 13.
Case Study-1
An electric meter is a device that measures that amount of electricity consumed by a house, office, factory or any building over a period of time.

A data was recorded regarding the monthly consumption of electricity in a locality in which 100 families resides. The data is tabulated below.

Monthly consumption (in kWh)	Number of families
0 -100	2
100 – 200	5
200 – 300	X
300 – 400	12
400 – 500	17
500 – 600	20
600 – 700	y
700 – 800	9
800 – 900	7
900 -1000	4

On the basis of this data, answer the following question.
(A) If the median monthly consumption of electricity is 525 kWh, then find the values of x and y. (2)
(B) Find the average monthly consumption of electricity by the families of this locality. (2)
Answer:
(A)

Class Interval	Frequency	Cumulative Frequency
0-100	2	2
100-200	5	7
200-300	X	7 + x
300-400	12	19 +x
400 – 500	17	36 + x
500 – 600	20	56 + x
600 – 700	y	56 + x + y
700-800	9	65 + x + y
800 – 900	7	72 +x + y
900 – 1000	4	76 + x + y
	N = 100

Since, sum of frequencies = 100
⇒ 2 + 5 + x + 12 + 17 + 20 + y + 9 + 7 + 4
= 100
⇒ 76 + x + y = 100
⇒ x + y = 24 ………………………………….. (i)
∵ Median = 525 [Given]
∴ Median class = 500 – 600

We know,
Median = l + \(\left(\frac{\frac{N}{2}-c f}{f}\right)\) x h

(B)

Hence, the average monthly consumption of electricity is 522 kwh.

Question 14.
Case Study-2
An inclinometer is an instrument which is used for measuring angles of slope, elevation or depression of an object, with respect to gravity’s direction.

The angle of elevation of an aeroplane from a point P on the ground is 45°. After flying for 15 seconds, the angle of elevation changes to 30°. If the aeroplane is flying at a constant height of 2500 m, then answer the following questions:

(A) Draw a labelled figure on the basis of the given information and calculate the distance covered by the plane during the period of observation. (2)

(B) What is the average speed of the aeroplane? [Use \(\sqrt{3}\) = 1.73]
Answer:

Here A is the initial position of the aeroplane and AB is its vertical height. Similarly, A’ is the position of the aeroplane after 15 seconds and A’B’ is its vertical height.

⇒ BB’ = 2500(\(\sqrt{3}\) – 1)m
So, distance covered by the plane during the period of observation
= A’A = B’B
= 2500(\(\sqrt{3}\) – 1)m

(B) We have,
Distance A’A = 2500 (\(\sqrt{3}\) – 1)m and Time taken = 15 sec
∴ Speed of the plane

Hence, the average speed of the aeroplane is 121.67 m/sec.

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Maximum Marks: 40

सामान्य निर्देश :

• प्रश्न-पत्र में दो खण्ड हैं-खण्ड ‘क’ और ‘ख’।
• सभी प्रश्न अनिवार्य हैं, यथासंभव सभी प्रश्नों के उत्तर क्रमानुसार ही लिखिए ।
• लेखन कार्य में स्वच्छता का विशेष ध्यान रखिए।
• खंड ‘क’ में कुल 3 प्रश्न हैं। दिए गए निर्देशों का पालन करते हुए इनके उपप्रश्नों के उत्तर दीजिए |
• खण्ड ‘ख’ में कुल 4 प्रश्न हैं, सभी प्रश्नों के साथ विकल्प भी दिए गए हैं। निर्देशानुसार विकल्प का ध्यान रखते हुए चारों प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

खण्ड ‘क’ [20 अंक]
(पाठ्यपुस्तक व पूरक पाठ्यपुस्तक)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 25-30 शब्दों में लिखिए। (2 × 4 = 8)
(क) ‘प्रभु की आस्था ही जिसका अस्तित्व था’-वाक्य से फादर के व्यक्तित्व की किस विशेषता का परिचय मिलता है?
(ख) ‘लखनवी अंदाज़’ पाठ का उद्देश्य स्पष्ट कीजिए।
(ग) फादर बुल्के भारतीय संस्कृति के अभिन्न अंग थे। कैसे? सिद्ध कीजिए।
(घ) खीरा खाने की इच्छा होते हए भी लेखक ने उसे खाने से इंकार क्यों किया?

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में से किन्हीं तीन प्रश्नों के उत्तर 25-30 शब्दों में लिखिए। (2 × 3 = 6)
(क) ‘कन्यादान’ कविता में बेटी को अंतिम पूँजी क्यों कहा गया है?
(ख) ‘उत्साह’ कविता में बादल किन-किन अर्थों की ओर संकेत करता है?
(ग) फागुन की आभा कैसी है और ‘अट नहीं रही है’ कविता में उसकी स्थिति कैसी वर्णित हुई है? स्पष्ट कीजिए।
(घ) ‘उत्साह’ कविता में कवि ने बादलों के लिए ‘नवजीवन’ का प्रयोग क्यों किया है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रश्नों में से किन्हीं दो प्रश्नों के उत्तर लगभग 50-60 शब्दों में लिखिए। (3 × 2 = 6)
(क) ‘जॉर्ज पंचम की नाक’ पाठ के आधार पर बताइए कि अपनी नाक ऊँची करने के लिए हमारा शाही तन्त्र किस प्रकार के कार्य कर सकता है?
(ख) ग्रामीण बच्चों का बचपन शहरी बच्चों से अधिक प्रफुल्लित और आनन्द देने वाला होता है। क्यों? पाठ ‘माता का अंचल’ के आधार पर लिखिए।
(ग) प्रकृति ने जल संचय की व्यवस्था किस प्रकार की है?

खण्ड ‘ख’ [20 अंक]
(रचनात्मक लेखन)

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से किसी एक विषय पर दिए गए संकेत बिन्दुओं के आधार पर लगभग 150 शब्दों में एक अनुच्छेद लिखिए।
(क) विज्ञापनों का बढ़ता प्रभाव-संस्कृति पर प्रहार
संकेत बिन्दु-

• भूमिका-विज्ञापन क्या है?
• विज्ञापनों की आवश्यकता
• विज्ञापनों का प्रभाव
• बढ़ती व्यावसायिकता घटते मूल्य
• विज्ञापन का दुष्प्रभाव
• रोकने के उपाय
• उपसंहार।

(ख) ई-कचरा
संकेत बिन्दु

• ई-कचरा
• चिंता का कारण
• निपटान के उपाय

(ग) स्वतंत्रता का महत्व
संकेत बिन्दु

• स्वतंत्रता का महत्तव
• आवश्यकता
• लाभ
• सदुपयोग के उपाय।

प्रश्न 5.
काव्य गोष्ठी में आमंत्रित किए जाने पर मित्र को लगभग 120 शब्दों में धन्यवाद प्रकट करते हुए एक पत्र लिखिए।
अथवा
आपके क्षेत्र में वन विभाग के द्वारा लगाए गए पेड़-पौधे सूखते जा रहे हैं। इन पौधों के रख-रखाव और जीवित रखने के लिए वन अधिकारी को एक सुझाव पत्र लिखिए। (5)

प्रश्न 6.
(क) सोने के आभूषणों के विक्रेता ‘कल्याण ज्वैलर्स’ के लिए एक विज्ञापन 25-50 शब्दों में तैयार कीजिए।
अथवा
केक शॉप के लिए 25-50 शब्दों में एक विज्ञापन तैयार कीजिए। (2.5)

(ख) फार्म हाउस की बिक्री के लिए लगभग 50 शब्दों में एक विज्ञापन तैयार कीजिए।
अथवा
‘पाठशाला’ कोचिंग सेंटर के लिए लगभग 50 शब्दों में एक आकर्षक विज्ञापन तैयार कीजिए। (2.5)

प्रश्न 7.
(क) लॉकडाउन के दौरान अपने मामाजी को सुरक्षित रहने हेतु संदेश 30-40 शब्दों में लिखिए।
अथवा
पिता के नाम पुत्र का संदेश लिखें जिसमें किसी यात्रा के स्थगन का वर्णन है। (30-40 शब्दों में) (2.5)

(ख) आपके विद्यालय में होने वाली हिंदी की परीक्षा अब आगे बढ़ा दी गई है। इसकी सूचना देते हुए अपने मित्र को लगभग 40 शब्दों में सन्देश लिखिए।
अथवा
(ख) पहली बार हवाई यात्रा का आनंद लेने वाले मित्र को लगभग 40 शब्दों में शुभकामना सन्देश लिखिए। (2.5)

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• लेखन कार्य में स्वच्छता का विशेष ध्यान रखिए।
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• खण्ड ‘ख’ में कुल 4 प्रश्न हैं, सभी प्रश्नों के साथ विकल्प भी दिए गए हैं। निर्देशानुसार विकल्प का ध्यान रखते हुए चारों प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

खण्ड ‘क’ [20 अंक]
(पाठ्यपुस्तक व पूरक पाठ्यपुस्तक)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 25-30 शब्दों में लिखिए। (2 × 4 = 8)
(क) ‘मानवीय करूणा की दिव्य चमक’ पाठ में
निहित मूलभाव लिखिए।
(ख) फादर बुल्के को संकल्प से संन्यासी क्यों कहा गया है? वे मन से संन्यासी क्यों नहीं थे?
(ग) लेखक खीरा इस्तेमाल करने के कौन से तरीके पर गौर कर रहे थे?
(घ) ‘लखनवी अंदाज़’ पाठ के शीर्षक के औचित्य पर प्रकाश डालिए।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में से किन्हीं तीन प्रश्नों के उत्तर 25-30 शब्दों में लिखिए। (2 × 3 = 6)
(क) कवि युवा कवियों से क्या आह्वान करता है? ‘उत्साह’ कविता के आधार पर लिखिए।
(ख) ‘उड़ने का नभ में तुम पर-पर कर देते हो’ के आलोक में स्पष्ट कीजिए कि फागुन लोगों के मन को किस तरह प्रभावित करता है?
(ग) कुछ तुकों और लयबद्ध पंक्तियों के आधार पर कन्या की मनोदशा स्पष्ट कीजिए।
(घ) ‘कहीं साँस लेते हो’ ऐसा कवि ने किसके लिए कहा है और क्यों? ‘अट नहीं रही है’ कविता के आधार पर बताइए।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रश्नों में से किन्हीं दो प्रश्नों के उत्तर लगभग 50-60 शब्दों में लिखिए। (3 × 2 = 6)
(क) बच्चे रोना-धोना, पीड़ा, आपसी झगड़े ज्यादा देर तक अपने साथ नहीं रख सकते हैं। ‘माता के अंचल’ पाठ के आधार पर बच्चों की स्वाभाविक विशेषताएँ लिखिए।
(ख) सुबह-सुबह बालकनी की ओर भागकर लेखिका के हाथ निराशा क्यों लगी? उसके निराश मन को हलकी सी सांत्वना कैसे मिली?
(ग) मूर्तिकार की उन परेशानियों का वर्णन कीजिए जिनके कारण उसे ऐसा हैरतअंगेज़ निर्णय लेना पड़ा? वह निर्णय क्या था?

खण्ड ‘ख’ [20 अंक]
(रचनात्मक लेखन)

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से किसी एक विषय पर दिए गए संकेत बिन्दुओं के आधार पर लगभग 150 शब्दों में एक अनुच्छेद लिखिए।
(क) मीडिया का सामाजिक उत्तरदायित्व
संकेत बिन्दु

• मीडिया का अर्थ
• प्रकार
• सामाजिक दायित्व

(ख) देश की संपत्ति, हमारी संपत्ति
संकेत बिन्दु

• राष्ट्रीय संपत्ति का अर्थ
• संपत्ति की रक्षा क्यों
• समाप्ति की सुरक्षा हमारा दायित्व

(ग) सार-सार को गहि रहे, थोथा देय उड़ाय
संकेत बिन्दु

• सूक्ति का अर्थ
• समाज के लोगों से सम्बन्ध
• वैचारिक अभिव्यक्ति

प्रश्न 5.
दिल्ली में प्राप्त सुविधाओं और असुविधाओं का परिचय देते हुए लगभ 120 शब्दों में मित्र को पत्र लिखिए।
अथवा
ट्रैफिक में फंसे होने के कारण डिलीवरी बॉय आर्डर लेट करने पर लगभग 120 शब्दों में समाधान पत्र लिखिए।

प्रश्न 6.
(क) नशे से दूर रखने के लिए एक विज्ञापन लगभग 50 शब्दों में एक विज्ञापन तैयार कीजिए।
अथवा
सपना घड़ियों के लिए लगभग 25-50 शब्दों में एक आकर्षक विज्ञापन तैयार कीजिए। विज्ञापन तैयार कीजिए। (2.5)

(ख) ‘गोल्डन आर्गेनिक जूस’ के लिए लगभग 50 शब्दों में एक विज्ञापन तैयार कीजिए।
अथवा
“रंजना’ अचार के लिए लगभग 50 शब्दों में एक विज्ञापन तैयार कीजिए। (2.5)

प्रश्न 7.
(क) आपकी बहिन के विवाह के एक वर्ष पूर्ण हो चुके हैं। उसकी शादी की वर्षगाँठ की बधाई देते हुए लगभग 30-40 शब्दों में संदेश लिखिए।
अथवा
एक पिता का अपने पुत्र को परीखा देने से पूर्व 30-40 शब्दों में प्रेरक संदेश लिखिए। (2.5)

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खण्ड ‘क’ [20 अंक]
(पाठ्यपुस्तक व पूरक पाठ्यपुस्तक)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 25-30 शब्दों में लिखिए। (2 × 4 = 8)
(क) नबाव के व्यवहार को देखकर लेखक के मन में क्या विचार आया?
(ख) फ़ादर के परिवार में कौन-कौन था और उनसे उनके सम्बन्ध कैसे थे?
(ग) मियां रईस बनते हैं-कथन में निहित भाव स्पष्ट कीजिए।
(घ) ‘उम्र की आखिरी देहरी’ से लेखक का क्या आशय है? मानवीय करुणा की दिव्य चमक’ पाठ के आधार पर लिखिए।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में से किन्हीं तीन प्रश्नों के उत्तर 25-30 शब्दों में लिखिए। (2 × 3 = 6)
(क) ‘अट नहीं रही है’ कविता में चारों ओर छाई सुन्दरता देखकर कवि क्या कहना चाहता है?
(ख) ‘उत्साह’ कविता किस प्रकार की रचना है’?
(ग) कन्यादान कविता की माँ परम्परागत माँ से किस प्रकार भिन्न है?
(घ) उत्साह कविता में मुख्य रूप कवि ने कौन सा भाव व्यक्त किया है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रश्नों में से किन्हीं दो प्रश्नों के उत्तर लगभग 50-60 शब्दों में लिखिए। (3 × 2 = 6)
(क) सरकारी तंत्र में नाक को लेकर जो बदहवासी दिखाई देती है वह उनकी किस मानसिकता को दर्शाती है?
(ख) रानी एलिजाबेथ के दरजी की परेशानी का क्या कारण था? उसकी परेशानी को आप किस तरह तर्कसंगत ठहरायेंगे?
(ग) सैलानियों को प्रकृति की अलौकिक छटा का अनुभव कराने में किन-किन लोगों का योगदान

खण्ड ‘ख’ [20 अंक]
(रचनात्मक लेखन)

प्रश्न 4.
(रचनात्मक निम्नलिखित में से किसी एक विषय पर दिए गए संकेत बिन्दुओं के आधार पर लगभग 150 शब्दों में एक अनुच्छेद लिखिए। (5)
(क) मधुर वचन हैं औषधि
संकेत बिन्दुः

• उक्ति का अर्थ
• मधुर बोलने का प्रभाव
• उपसंहार।

(ख) मेरी प्रथम हवाई यात्रा
संकेत बिन्दुः

• हवाई यात्रा के लाभ
• अपना अनुभव
• रोमांचक यात्रा

(ग) इण्टरनेट का जीवन पर प्रभाव
संकेत बिन्दुः

• इण्टरनेट का परिचय
• लाभ
• हानियाँ
• सदुपयोग के उपाय।

प्रश्न 5.
‘नवोदय’ समाचार-पत्र के सम्पादक को पत्र लिखकर अपनी ज्वलंत विषय पर लिखी कविता छापने का आग्रह कीजिए।
अथवा
अपने प्रिय मित्र को अपनी बड़ी बहिन के विवाह के अवसर पर आमंत्रित करते हुए पत्र लिखिए। (5)

प्रश्न 6.
(क) बच्चों के ग्रीष्म अवकाश में आप बच्चों के लिए योग अभ्यास की कक्षाएं शुरू करने जा रही हैं। इसके लिए लगभग 25-50 शब्दों में आकर्षक विज्ञापन तैयार कीजिए।
अथवा
किसी मोबाइल कंपनी के लिए 25-50 शब्दों में एक विज्ञापन तैयार कीजिए।(2.5)

(ख) विद्यालय की कलविथि में कुछ चित्र (पेंटिग्स) बिक्री के लिए उपलब्ध हैं। इसके लिए एक विज्ञापन लगभग 50 शब्दों में लिखिए।
अथवा
सड़क पर टहलते हुए आपको एब बैग मिला, जिसमें कुछ रुपये, मोबाइल फोन तथा अन्य कई महत्वपूर्ण कागजात थे। लगभग 50 शब्दों में एक विज्ञापन तैयार कीजिए कि अधिकारी व्यक्ति आपसे सम्पर्क कर अपना बैग ले जाएं। (2.5)

प्रश्न 7.
(क) रक्षाबंधन के अवसर पर अपने छोटे भाई के लिए संदेश 30-40 शब्दों में लिखिए।
अथवा
कोविड 19 महामारी के कारण विद्यालय बंद की सूचना विद्यार्थियों को देते हुए एक संदेश 30-40 शब्दों में लिखिए। (2.5)

(ख) आपके मित्र के पिता की मृत्यु कार दुर्घटना में हो गई। लॉकडाउन के कारण आप वहाँ नहीं जा पा रहे हैं। अपने मित्र को लगभग 40 शब्दों में शोक सन्देख लिखिए।
अथवा
इंजीनियरिंग की पढ़ाई करने के लिए आप दूसरे शहर में गए हैं। अपनी कुशलता के बारे में बताते हुए अपनी माँ को लगभग 40 शब्दों में सन्देश लिखिए। (2.5)

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सामान्य निर्देश :

• प्रश्न-पत्र में दो खण्ड हैं-खण्ड ‘क’ और ‘ख’।
• सभी प्रश्न अनिवार्य हैं, यथासंभव सभी प्रश्नों के उत्तर क्रमानुसार ही लिखिए ।
• लेखन कार्य में स्वच्छता का विशेष ध्यान रखिए।
• खंड ‘क’ में कुल 3 प्रश्न हैं। दिए गए निर्देशों का पालन करते हुए इनके उपप्रश्नों के उत्तर दीजिए |
• खण्ड ‘ख’ में कुल 4 प्रश्न हैं, सभी प्रश्नों के साथ विकल्प भी दिए गए हैं। निर्देशानुसार विकल्प का ध्यान रखते हुए चारों प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

खण्ड ‘क’ [20 अंक]
(पाठ्यपुस्तक व पूरक पाठ्यपुस्तक)

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लगभग 25-30 शब्दों में लिखिए। (2 × 4 = 8)
(क) नवाब साहब का कौन-सा भाव परिवर्तन लेखक को अच्छा नहीं लगा और क्यों?
उत्तरः
लेखक जब डिब्बे में चढ़े तब नवाब साहब के चेहरे पर असन्तोष के भाव स्पष्टतया नज़र आ रहे थे। उन्होंने संगति के लिए कोई उत्साह नहीं दिखाया और अचानक से खीरे खाने के लिए पूछना लेखक को अच्छा नहीं लगा। एक ओर तो उन्हें लेखक से बात करना भी गँवारा नहीं था और अब अचानक खीरे के लिए पूछना उन्हें अच्छा नहीं लगा।

(ख) ‘परिमल’ की गोष्ठियों से जुडी फादर की किन स्मृतियों को लेखक याद कर रहा है?
उत्तरः
‘परिमल’ की गोष्ठियों से जुड़ी फादर की वो स्मृतियाँ लेखक को याद आती हैं, जब सभी साहित्यकार स्वयं को एक पारिवारिक संबंधों में बंधा हुआ अनुभव करते थे और उस परिवार के बड़े फादर बुल्के हुआ करते थे। सभी के बीच हँसी-मजाक चलता रहता था, गंभीरता से परिपूर्ण बहस होती थी और निडर और निष्पक्ष होकर एक दूसरे की रचनाओं से सम्बंधित राय दी जाती थी।

(ग) ‘सबसे अधिक छायादार, फल-फूल गंध से भरा ……..’ किसे और क्यों कहा गया है?
उत्तरः
‘सबसे अधिक छायादार, फल-फूल गंध से भरा….’ फादर बुल्के को कहा गया है। वह एक ऐसे विशाल वृक्ष की भांति थे जो सर्वाधिक छायादार, फल-फूल और सुगंध से युक्त था। उन्हें ऐसा इसलिए कहा गया है क्योंकि फादर बुल्के मानवीय करुणा के दिव्य अवतार थे। प्रेम, करुणा, वात्सल्य, अपनत्व, ममता और सहृदयता उनमें कूट-कूट कर भरी हुई थी। उनके हृदय में अपने प्रियजनों के प्रति असमी स्नेह और ममत्व का भाव था। वे अपने आशीर्वादों से सबको लबालब कर देते थे। उनका व्यक्तित्व अलौकिक छवि से युक्त था।

(घ) “लखनवी अंदाज़’ पाठ में लेखक और नवाब साहब की प्रथम मुलाकात का वर्णन अपने शब्दों में कीजिए।
उत्तरः
लेखक और नवाब साहब की प्रथम मुलाकात पैसेंजर ट्रेन के सेकंड क्लास बोगी में होती है। लेखक ने डिब्बे में आने से नवाब साहब को थोड़ा-सा भी अच्छा नहीं लगा। नवाब साहब लेखक की ओर नहीं देख रहे थे बल्कि उन्हें देखते हुए भी वे अनजान बने रहे और खिड़की से बाहर देखने लगे। लेखक ने भी अपने स्वाभिमान को बनाए रखने के लिए अपने मन में ठान लिया कि मैं भी पहले बात नहीं करूँगा।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में से किन्हीं तीन प्रश्नों के उत्तर 25-30 शब्दों में लिखिए। (2 × 3 = 6)
(क) स्त्री जीवन के बंधन किन्हें कहा गया है और क्यों?
उत्तरः
स्त्री जीवन के बंधन आभूषणों और वस्त्रों को कहा गया है, क्योंकि इनके आकर्षण में पड़कर स्त्री भ्रमित हो जाती है। इनकी चकाचौंध में उसका अस्तित्व खो जाता है और वह शोषण का मुकाबला नहीं कर पाती।

(ख) ‘उत्साह’ कविता किस प्रकार की रचना है?
उत्तर:
‘उत्साह’ एक आह्ववान गीत है, जिसमें कवि ने बादलों का आह्ववान किया है कि वे उत्साहपूर्वक बरसकर जन-जन की व्याकुलता दूर करें। यह आह्वान दो रूपों में अभिव्यक्त हुआ है। कवि चाहता है कि एक ओर बादल गणकार समाज में क्रांति की चेतना एवं उत्साह का संचार करें। समाज को नवजीवन प्रदान कर गतिशीलता प्रदान करें तथा दूसरे रूप में जल-वर्षा कर गर्मी से पीड़ित धरती एवं लोगों की प्यास बुझाकर उन्हें शीतलता एवं संतुष्टि प्रदान करें।

(ग) फागुन की आभा कैसी है और ‘अट नहीं रही है’ कविता में उसकी स्थिति कैसी वर्णित हुई है? स्पष्ट कीजिए।
उत्तरः
‘अट नहीं रही है’ कविता में फागुन मास में बसंत ऋतु की शोभा का वर्णन है। फागुन की शोभा सर्वव्यापक है। चहुंओर वह इस प्रकार व्याप्त है कि प्रकृति के तन-मन में वह समा नहीं पा रही है। नए-नए पेड़, फूल और पत्तियों से सारा वातावरण सुगन्धित है। फागुन की शोभा सृष्टि के कण-कण में विद्यमान है।

(घ) कवि ने ‘नवजीवन’ का प्रयोग बादलों के लिए भी किया है। स्पष्ट कीजिए।
उत्तरः
कवि बादलों को कल्याणकारी मानता है। बादल विविध रूपों में जनकल्याण करते हैं। वे अपनी वर्षा से लोगों की बेचैनी दूर करते हैं और तपती धरती का ताप शीतल करके मुरझाई-सी धरती में नया जीवन फेंक देते हैं। वे धरती को फसल उगाने योग्य बनाकर संचार करते हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित प्रश्नों में से किन्हीं दो प्रश्नों के उत्तर लगभग 50-60 शब्दों में लिखिए। (3 × 2 = 6)
(क) लोंग स्टॉक में घूमते हुए चक्र को देखकर लेखिका को पूरे भारत की आत्मा एक-सी क्यों दिखाई दी?
उत्तरः
लोंग स्टॉक में एक कुटिया में घूमता हुआ चक्र था जिसके बारे में जितेन नार्गे ने लेखिका को बताया कि यह धर्म चक्र यानि प्रेयर ह्वील है। यहाँ के लोगों की मान्यता है कि इसे घुमाने से सारे पाप धुल जाते हैं। जब लेखिका ने यह सुना तो उन्हें लगा कि चाहे मैदान हो या पहाड़, तमाम वैज्ञानिक प्रगतियों के बावजूद भी इस देश की आत्मा एक-सी है। धर्म के बारे में लोगों की आस्था और विश्वास, पाप-पुण्य की अवधारणा और कल्पना सारे देश में एक समान ही है।

(ख) आपके विचार से भोलानाथ अपने साथियों को देखकर सिसकना क्यों भूल जाता है?
उत्तरः
शिशु को अपने हमउम्र बच्चों के साथ खेलना अच्छा लगता है। उनके साथ वह जितनी रुचि लेकर खेलता है उतना आनन्द तो उसे कहीं भी नहीं आता। इसके अतिरिक्त बच्चों को अपने साथियों के सामने रोने में हीनता का अनुभव होता है। इन्हीं कारणों से भोलानाथ अपने साथियों को देखकर सिसकना भूल जाता है।

(ग) “और देखते-ही-देखते दिल्ली की काया पलट होने लगी”-नई दिल्ली की काया पलट के लिए क्या-क्या प्रयत्न किये गए होंगे?
उत्तरः
इंग्लैंड की महारानी एलिज़ाबेथ के भारत आने की खबर मात्र से नई दिल्ली की तो काया पलट ही होने लगी। इसके लिए निम्नलिखित प्रयत्न किए गए –

• सरकारी इमारतों पर रंग-रोगन किया गया ।
• रास्तों पर बल्बों और प्रकाश की व्यवस्था की गई।
• इंडिया गेट के सामने से भिखारियों को दूसरे स्थान पर भेज दिया गया।
• टूटी-फूटी सड़कों की मरम्मत की गई होगी।
• पूरे दिल्ली शहर की साफ-सफाई की व्यवस्था की गई।

खण्ड ‘ख’ [20 अंक]
(रचनात्मक लेखन)

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से किसी एक विषय पर दिए गए संकेत बिन्दुओं के आधार पर लगभग 150 शब्दों में एक अनुच्छेद लिखिए।
(क) यदि मैं वित्त मंत्री होता/होती
संकेत बिन्दु :

• वित्त मंत्री की जिम्मेदारियाँ
• उनका निर्वाह
• सुझाव।

उत्तरः
महीने का जेबखर्च मिले या महीने भर का वेतन आए तो हम दुविधा में पड़ जाते हैं कि कितना और कैसे खर्च करें व कैसे बचत करें कि सब काम भी हो जायें व भविष्य भी सुरक्षित रहे। सोचिए, जिसे पूरे देश के वित्त का समायोजन करना है, उसके सामने कितनी दुविधा, कितनी चुनौतियाँ होती होंगी। वित्त कहाँ से व कैसे एकत्रित किया जाए व उसका सदुपयोग कैसे किया जाए कि देश का विकास भी हो तथा समाज के सभी वर्ग भी सन्तुष्ट हो सकें। यदि मैं वित्त मंत्री होता तो वित्त एकत्र करने के लिए कर इस प्रकार लगाता कि उसका बोझ किसी एक वर्ग को न झेलना पड़े तथा जो भी वित्त एकत्रित हो, उसका लाभ सभी को बराबर मिल सके। देश के समुचित विकास में उसका प्रयोग हो व सारा हिसाब-किताब जनता के साथ पारदर्शी रखता। सबको हक होता कि वे किसी एक साइट पर जाकर जाँच कर सकें कि जनता का पैसा कहाँ और कैसे खर्च किया जा रहा है। ऐसा करने से जनता का शासन व्यवस्था पर विश्वास कायम रहता तथा उनके अन्दर भी सहयोग व समर्पण का भाव पैदा होता। यदि मैं वित्त मंत्री होता तो देश की आर्थिक व्यवस्था मजबूत करने के लिए इस प्रकार योजना बनाता जिससे उसका लाभ प्रत्येक वर्ग को मिल सके। देश के करों की चोरी रोकने के लिए कानून बनाता और उनको कठोरता से लागू करता तथा इस बात का पूरा-पूरा ध्यान रखता कि किसी वर्ग विशेष को ही इसका लाभ न मिले। अपने देश की आर्थिक व्यवस्था को

दृढ़ता प्रदान करने के लिए समुचित कदम उठाता और हर व्यक्ति को रोज़गार. उपलब्ध करवाता। व्यर्थ के करों को हटा देता। देश में बनी हुई वस्तु पर जनता के लिए कम कर देय होते और विदेश से आने वाली वस्तु पर अधिक। इससे स्वदेशी वस्तुओं की बिक्री को बढ़ावा मिलता।

(ख) जीवन संघर्ष है, स्वप्न नहीं
संकेत बिन्दुः

• जीवन संघर्ष का ही दूसरा नाम हैं
• जीवन गतिशील एवं बाधाओं से पूर्ण
• स्वप्न असत्य, जबकि जीवन सत्य

उत्तरः
मनुष्य का जीवन वास्तव में सुख-दुःख, आशा-निराशा, खुशी-दर्द आदि का मिश्रण है। यह न तो केवल फूलों की सेज है और न ही काँटों का ताज। वस्तुतः जीवन एक अनवरत संघर्ष का नाम है।

जीवन की तुलना एक प्रवाहमान नदी से की जा सकती है। जिस प्रकार एक सरिता अविरल बहती रहती है, समुद्र में लहरे सदा गतिशील रहती हैं, वायु एक क्षण के लिए भी नहीं रुकती, सूर्य, चन्द्रमा, तारे सभी अपने-अपने नियत समय पर उदित एवं अस्त होते हैं, ठीक उसी प्रकार जीवन की गति भी अविरल है। समय के साथ -साथ आगे बढ़ते रहने की प्रबल मानवीय लालसा ही जीवन है। इस अविरल गति से प्रवाहमान जीवन में अनेक ऊँचे-नीचे रास्ते आते हैं, अनेक बाधाएँ आती है। इन्हीं बाधाओं से संघर्ष करते हुए जीवन आगे बढ़ता रहता है। यही कर्म है, यही सत्य है जीवन में आने वाली बआधाओं से घबगराकर रुक जाने वाला या पीछे हट जाने वाला वक्त भी सफलता प्राप्त नहीं कर सकता। जीवन सत्य हैं, जबकि स्वप्न असत्य । स्वप्न काल्पनिक है, अयथार्थ है।

स्वप्न का महत्व केवल वहीं तक है, जहाँ तक वह मनुष्य के जीवन को आगे बढ़ाने में प्रेरक है। मनुष्य स्वप्न के माध्यम से ही ऐसी कल्पनाएँ करता है, जो अयथार्थ होती हैं, लेकिन उस काल्पनिक लोक का वह अपने परिश्रम, उमंग एवं दृढ़ इच्छाशक्ति से यथार्थ में वासतविकता में परिवर्तित कर देता है। वास्तविक जीवन एक कर्तव्य पथ है, जिसके मार्ग में अनेक शूल बिखरे पड़े हैं, लेकिन मनुष्य की इच्छाशक्ति या दृढ़ संकल्प उन बाधाओं और काँटों की परवाह नहीं करता और उन्हें रौंदकर आगे निकल जाता हैं। जीवन संघर्ष की लंबी साधना है। यह संघर्ष तब तक बना रहता है, जब तक मनुष्य के शरीर
में साँस चलती है, संघर्ष से बचा नहीं जा सकता।

(ग) आत्मनिर्भरता
संकेत बिन्दुः

• अर्थ
• विभिन्न स्तरों पर आत्मनिर्भरता
• लाभा

उत्तरः
आत्मनिर्भरता का अर्थ है ‘अपने ऊपर निर्भर होना’ अर्थात् अपने कार्यों के लिए दूसरों का मुँह न ताकना। किसी की सहायता की प्रतीक्षा न करके स्वयं, अपने बल पर अपने कार्यों को सिद्ध करना। जिस व्यक्ति को दूसरों की मदद लेने की आदत हो जाती है, फिर धीरे-धीरे वे आत्मविश्वास खोने लगते हैं, स्वयं को अपंग बना लेते हैं। परिणामस्वरूप उनकी खुशी, उनका सुख दूसरों के वश में हो जाता है। कोई उनका काम कर दे तो ठीक, अन्यथा वे दुखी रहेंगे।

ऐसे में रिश्तों में भी कड़वाहट आने लगती है, क्योंकि जिन पर हम निर्भर रहने लगे हैं, यदि किसी कारणवश उनसे मदद नहीं मिलती तो हम उनके प्रति नकारात्मक भाव पैदा करते हैं। दूसरों पर निर्भरता, भले ही शारीरिक हो या मानसिक, व्यक्तिगत स्तर पर हो या राष्ट्रीय स्तर पर; वह हमारे विकास की गति धीमा कर देती है, जबकि आत्मनिर्भरता हमें समय व परिस्थितियों के अनुकूल कार्य करना सिखाती है तथा हम पर्याप्त गति से आगे बढ़ते हुए अपने लक्ष्य को प्राप्त कर पाते हैं। आत्मविश्वासी व्यक्ति वीर और संकल्पी होता है। इसके विपरीत दूसरों पर आश्रित व्यक्ति उपहास का पात्र होता है। लोग उसे घृणा की दृष्टि से देखते हैं। वह परजीवी बन जाता है। आत्मनिर्भर व्यक्ति के मुकाबले कोई भी तेजस्वी और दृढ़-प्रतिज्ञ नहीं होता ।

अभ्यास और परिश्रम से सहूलियत तो उत्पन्न हो सकती है, परन्तु यदि हम अपने मस्तिष्क को उसके अनुरूप ही क्रियाशील बनायेंगे तो निश्चित ही हमारे अन्दर शक्ति का संचार होगा और हम स्वनिर्भर हो जायेंगे। आत्मनिर्भर व्यक्ति पहाड़ों का सीना चीरने की ताकत रखता है। अतः मनुष्य को आत्म-सहायता रूपी मूल सिद्धान्त को अपनाकर आदर्श जीवन जीना चाहिए। दूसरों पर आश्रित व्यक्ति जीवन में कभी भी उन्नति नहीं कर सकता, क्योंकि उसका मार्ग अवरुद्ध होता है। उसकी तो उन्नति भी दूसरों पर आश्रित हो जाती है।

प्रश्न 5.
वन्य जीव संरक्षण हेतु अपने सुझाव देते हुए वन्य जीव संरक्षण अधिकारी को पत्र लिखिए।
अथवा
मोबाइल और इन्टरनेट के बिना जीवन कैसे जीएं इस विषय पर अपने मित्र को पत्र लिखिए। (5)
उत्तरः
12, मॉडल अपार्टमेंट
गोरखपुर
दिनांक : 25 नवंबर 20XX
सेवा में,
श्रीमान वन्यजीव संरक्षण अधिकारी
गोरखपुर
विषय : वन्य जीव संरक्षण हेतु सुझाव।

महोदय,
जैसा कि आप जानते हैं कि जीव जंतु पारिस्थितिकी जैव विविधता बनाए रखने में कितने सहायक है ऐसे में इनकी सुरक्षा और अस्तित्व के बारे में सोचना प्रत्येक व्यक्ति का मूल कर्तव्य है। हालांकि सरकार द्वारा जीव जंतु की अनेक प्रजातियों के संरक्षण की दिशा में कार्य किया जा रहा है। परन्तु इस दिशा में अभी और अधिक जागरूक होने की आवश्कता है। महोदय, पिछले काफी समय से कई सारे जीव जंतुओं की संख्या में कमी आई है। साथ ही कई प्रजातियां विलुप्त होने की कगार पर हैं। ऐसे में यदि जल्दी कोई सख्त कदम नहीं उठाए गए, तब परिस्थितिकी तंत्र को असंतुलित होने से कोई नहीं रोक पाएगा। यही कारण है कि भारत में जंगली जानवरों के शिकार पर प्रतिबंध लगा दिया गय है और जंगलों को काटने पर भी जुर्माने का प्रबंध किया गया है। साथ ही जिन जगहों पर जीव जंतुओं के अस्तित्व पर खतरा मंडरा रहा है, उन्हें रेड जोन घोषित कर दिया गया है। मेरा विचार है कि वन्य जीवों क प्राणों और प्रजातियों को बचाने के लिए हमें कृत्रिम तरीकों से इनके प्रजजन को जल्द से जल्द बढ़ाना चाहिए। साथ ही इनकी तस्करी और व्यापार पर पूर्णतया रोक लगानी चाहिए। वन्य जीवों का संरक्षण तभी संभव है, जब मानव सभ्यता के विकास के नाम पर इनका शोषण और अवैध तस्करी पर रोक लगाई जाएगी, तभी हम पर्यावरण और परिस्तिथिकी तंत्र के संतुलन में अपना सहयोग दे सकेंगे।

आशा करती हूँ कि मेरे द्वारा बनाए गए उपरोक्त सुझात आपको अवश्य ही महत्वपूर्ण लेंगे।
धन्यवाद।
विनीत
सुधीर जैन

अथवा

21, मॉडल टाउन
मानसरोवर
दिनांक : 20 नवंबर 20XX
प्रिय मित्र
मधुर स्नेह
मैं आशा करता हूं कि तुम स्वस्थ होगे और अपनी पढ़ाई में हमेशा की तरह बेहतरीन प्रदर्शन कर रहे होगे। दोस्त, मैंने आज तुम्हें यह पत्र इसलिए लिखा है कि कई दिनों से मैं यह विचार कर रहा हूं। कि आजकल हम एक दूसरे से सोशल मीडिया, फोन और इंटरनेट के माध्यम से जुड़े जरहते हैं। उसे में हमें सदैव ही एक दूसरे के विषय में जानकारी रहती हैं। लेकिन क्या तुमने कभी यह सोचा है कि आज 21 वीं के इस युग में यदि जीवन बिना मोबाइल और इंटरनेट के माध्यम से बिताना पड़ जाए, तो क्या होगा? दोस्त आज हम प्रत्येक कार्य के लिए पूर्णतया इंटरनेट पर निर्भर हो चुके हैं। फिर चाहे वह सरकारी हो या प्राइवेट संस्थान। हर जगह सारे कार्य इंटरनेट के द्वारा ही किए जा रहे हैं। आज दूर बैठे किसी भी व्यक्ति से संपर्क साधना हो, तो मोबाइल और इंटरनेट का ही सहारा लेना पड़ता है। एसे में बिना तकनीक के आज मानव जीवन की कल्पना भी नहीं की जा सकती है। लेकिन मित्र जहां विज्ञान के आविष्कार मानव सभ्यता के विकास के लिए जरूरी हैं, तो वहीं इसके कई नुकसान भी हैं। इसलिए मेरा मानना है कि हमें तकनीक को अपनी सुविधानुसार प्रयोग में लाना चाहिए। ताकि वह हमारे जीवन को विकास के मार्ग पर ले जाए।
चाचाजी और चाचीजी को मेरा प्रणाम कहना। शीघ्र ही तुमसे मिलूँगा।
तुम्हारा मित्र
सुशील

प्रश्न 6.
(क) एक कंपनी आधुनिक तकनीक का प्रयोग करके अनोखी घड़ी बना रही है। लगभग 25-50 शब्दों में उस कंपनी के लिए एक विज्ञापन तैयार कीजिए।
अथवा
आपकी बड़ी बहिन ने हॉबी क्लास शुरू की है। उसके लिए 25-50 शब्दों में एक विज्ञापन तैयार कीजिए। (2.5)
उत्तरः

रोबो घड़ियाँ घड़ी जो न केवल समय बताए, आपके दिल की धड़कन, आपके कदम, आपके बी. पी., आपकी नींद पर भी रखे नजर……….जी हाँ, चौंकिए मत……….ले जाइए रोबो घड़ियाँ……..कीमत ₹2000 से ₹ 5000 तक ऑर्डर कीजिए-9810945824 या robowatch@gmail.com

अथवा

श्रेष्ठा हॉबी क्लासेज

अनुभवी प्रशिक्षकों दवारा विभिन्न प्रकार के अल्पावधि कोर्स, जैसे डांस क्लासेज आर्ट/क्राफ्ट क्लासेज कम्प्यूटर क्लासेज हेण्ड राइटिंग क्लासेज स सिलाई तथा बुनाई कोर्स इत्यादि कराये जा रहे हैं। तो गर्मियों की छुट्टियों का सदुपयोग करें, जल्दी आयें और अपना पंजीकरण करवायें। श्रेष्ठा हॉबी क्लासेज, शहीद नगर, हनुमान मन्दिर के निकट, देहरादून।

(ख) सव्या शैम्पू बनाने वाली कंपनी की बिक्री बढ़ाने के लिए लगभग 50 शब्दों में एक आकर्षक विज्ञापन तैयार कीजिए।
अथवा
आपकी कॉलोनी में हाइलैंड एकेडमी प्लजे स्कूल खुल गया है। इसके लिए लगभग 50 शब्दों में एक आकर्षक विज्ञापन तैयार कीजिए। (2.5)
उत्तरः

अथवा

प्रश्न 7.
(क) वर्मा अंकल के आने की सूचना देते हुए अपनी माँ को संदेश 30-40 शब्दों में लिखिए।
अथवा
अपने मित्र को नवरात्रि की बधाई देते हुए संदेश 30-40 शब्दों में लिखिए। (2.5)
उत्तरः

माँ, आपके बाजार जाने के बाद घर पर वर्मा अंकल आए थे। उन्हें आपसे बहुत जरूरी काम है। आप | घर पर आकर उन्हें तुरंत फोन कर लें। मैं ट्यूशन जा रहा हूँ। रोहित

अथवा

खुशियों से भरा हो संसार आपका मिले सदा हर सफलता आपको नवरात्रि का यह त्योहार जीवन में लाए खुशियाँ अपार नवरात्रि की हार्दिक शुभकामनाएँ

(ख) आपकी बहिन के विवाह को 25 वर्ष पूरे हो चुके हैं। उसके विवाह की सालगिरह पर बधाई देते हुए लगभग 40 शब्दों में संदेश लिखिए।
अथवा
आपकी माताजी मंदिर गई हुई हैं और आपको अपने मित्र के जन्मदिन के उत्सव में जाना है। इस संदर्भ में लगभग 40 शब्दों में संदेश लिखिए। (2.5)
उत्तरः

सन्देश

दिनांक : 22 फरवरी, 20XX समय : सांय 5 बजे आदरणीय दीदी आपकी शादी की पच्चीसवीं वर्षगाँठ पर मेरी तरफ से आपको और जीजाजी को ढेर सारी बधाई। आपका वैवाहिक जीवन हंस के जोड़े के समान युगों-युगों तक बना रहे। आप दोनों हमेशा स्वस्थ, सुखी और संपन्न रहें। आपकी बहिन अनुपमा

अथवा

दिनांक: 2 जनवरी, 20XX समय : सायं 4 बजे माँ , मुझे अपने मित्र के जन्मदिन के उत्सव पर जाना है। भैया अभी घर पर नहीं हैं इसलिए घर की चाबी मैंने पड़ोस वाली चाचीजी के यहाँ पर दे दी है। मैं शाम 7 बजे तक घर आ जाऊँगा। आपका पुत्र अनुराग